下期班主任工作总结 本文关键词：下期，班主任工作总结
下期班主任工作总结 本文简介：班主任工作总结安化一中周跃明过去的一学期里，我班在学校领导的统一组织下，通过任课教师的大力支持和配合，各项工作顺利开展，学习、生活等方面都取得较好的成绩。现将本学期的工作总结如下：一、加强对学生的思想政治工作，培养学生良好的道德品质，净化学生的心灵，努力培养又红又专的合格人才。为了配合学校团委和政教
下期班主任工作总结 本文内容：
班主任工作总结
安化一中
周跃明
过去的一学期里，我班在学校领导的统一组织下，通过任课教师的大力支持和配合，各项工作顺利开展，学习、生活等方面都取得较好的成绩。现将本学期的工作总结如下：
一、加强对学生的思想政治工作，培养学生良好的道德品质，净化学生的心灵，努力培养又红又专的合格人才。
为了配合学校团委和政教处的工作，我们班积极开展了许多有益于学生身心健康发展的活动。例如，
“青年学生应该怎样以实际行动热爱祖国”、“青年学生应该树立远大的理想和报复”等。同时，我也经常利用班会课对学生进行身心教育，帮助学生澄清思想上的模糊认识，提高学生的思想境界。我还充分利用课余时间和有关学生促膝谈心，及时对学生进行针对性的教育。
二、加强班级管理，培养优秀的学风、班风，深入全面地了解学生，努力培养“赤诚、严格、活跃、奋进”的班集体。
高三年级是学生的世界观发展、变化的重要阶段，同时，面临着毕业、升学等实际问题，随着课时和知识复杂程度的加重，容易产生两极分化，有的学生甚至会感到迷惘，对前途失去信心。因此，在学生毕业前夕的思想工作显得更加复杂和重要。在这个学期里，一方面，我主要加大了对学生自治自理能力培养的力度，通过各种方式，既注意指导学生进行自我教育，让学生在自我意识的基础上产生进取心，逐渐形成良好的思想行为品质；又注意指导学生如何进行自我管理，培养他们多方面的能力，放手让他们自我设计、自我组织各种教育活动，在活动中把教育和娱乐融入一体。还注意培养学生的自我服务的能力，让学生学会规划、料理、调整自己，使自己在集体中成为班集体的建设者，而不是“包袱”。另一方面，我有效地利用好每周一的班会课开展一些专题性的活动，例如，学习经验交流会，意志教育，如何做时间的主人，习惯养成教育等，这些活动大大地促进良好的学风、班风的形成。再一方面，我自己也以身作则，努力做学生的榜样，跟班勤，管理方法得力，班风正、学风浓。我班在学校的各项管理评比中都取得了优秀的成绩。本学期的几次月考均能取得进步，各项管理也都取得了好的成绩。这又进一步鼓舞了士气，使班级管理工作向着健康的方向发展。
三、积极抓好后进生的转化工作，努力使后进生以失败者来，以胜利者走。
后进生的教育和管理历来是班主任工作的难点，却又影响班级整体教育教学质量提高的至关重要的一环。在这方面，我作为班主任首先做到了以正确的态度对待他们，深入调查摸底，搞清他们所以成为差生的原因，做到了因材施教，对他们处处真诚相待，时时耐心相帮，真正做他们的知心朋友、最可信赖的朋友。及时对后进生加强心理疏导，帮助他们消除或减轻种种心理担忧，让他们认识到自己的价值。同时，我还创造条件和机会让后进生表现其优点和长处，使他们品尝到成功的欢乐和喜悦。
四、积极开展好文体活动，做好课间操、眼保健操，保护学生视力，增强学生的体质，提高学生的学习效率。高中学生学习任务比较繁重，进行适当的体育活动不仅有利于学生身体素质的提高，而且也有利于学习效率的提高，每次活动我都亲临现场与学生一起活动并适当予以技术性的指导，这样不仅可以防止意外事故的发生，而且也可以加深与学生感情的交流。
五、积极主动地和各科教师联系，协调学校各方面的教育力量，发挥好纽带作用。
在与任课教师的交往中，我尊重他们的地位，尊重他们的意见，同时又把他们当作班级的主人，视为自己的良伴、知己。凡事都主动地同任课教师协商，倾听、采纳他们的意见。能够慎重地处理学生和任课教师的关系，在处理师生矛盾时，尽量避免了激化矛盾，在这方面，我平时注意到多教育学生，让学生懂礼貌，尊重老师的劳动，树立老师的威信，增进师生情谊。
总之，在这一个学期里，我通过以上几方面的努力，班级工作的开展有声有色，学生的整体素质在不断的提高。这届学生的高中生涯还有最后一个学期，面临着毕业及升学等实际问题，下学期担子还很重，工作还将更复杂，因此，这就需要我不断的努力、刻苦，及时总结经验教训，争取取得更加辉煌的成绩。
2006年1月15日
篇2：下期德育教学工作总结
下期德育教学工作总结 本文关键词：下期，德育，工作总结，教学
下期德育教学工作总结 本文简介：2009年下期教学工作总结冉智勇本期根据学校工作安排，我担任职高机电二年级，计算机应用专业、国防二年级、和高二六班的《职业生涯设计》教学工作，每班每周3节，共计10节课，另兼任学校招生就业办主任工作。由于本期又是新教材，学生也第一次接触这类型的课程，就教材而言，新颖，形式多样，内容丰富，针对性强，因
下期德育教学工作总结 本文内容：
2009年下期教学工作总结
冉智勇
本期根据学校工作安排，我担任职高机电二年级，计算机应用专业、国防二年级、和高二六班的《职业生涯设计》教学工作，每班每周3节，共计10节课，另兼任学校招生就业办主任工作。由于本期又是新教材，学生也第一次接触这类型的课程，就教材而言，新颖，形式多样，内容丰富，针对性强，因此，我在教学中，抓住这些特点，进行有效性教学，通过一学期的教学实践，从中得到以下几方面的体会，与大家一起分享，敬请提出宝贵意见和建议。
1、认真研究教材，掌握新教材体系，掌握教材结构，进行备课，使自己充分理解教材内容。
2、钻研教学课标，掌握教材的重难点，备课中，要分解难点，突出重点。
3、根据教材的图纹并茂特点，抓住学生好奇心，好学想学的心理：在教学中我主要采用，故事引入，心海导航，人生启迪等方式教学。
4、重点培养学生动手，动脑的能力。如给自己设计职业目标，奋斗措施，时段的划分及何时实现，使学生对自己今后的从业方向做到心中有数，在学习中有动力。
5、在教学中安排学生讨论，辩论，让学生提出自己不同的观点相互进行辩论，通过这一活动,使学生从中得到提高。
6、安排学生参加不同类型的社会实践活动,，培养学生适应社会的能力.利用周末、放假时间可安排学生作社会调查,企业对人才的需求,国家用人制度政策,双向选择等。
7、课堂上要根据不同班级的学生进行教学，对职高就业班学生着重突出如何尽早适应社会，就业时应该注意的问题，如何选择企业，在工作中，应该注意问题；对于高考班的学生，在教学时，重点突出，我国当前的高考制度，高校专业设置，社会所需求的人才，企业对大学生的素质要求，学生在校期间如何抓住学习机遇，，学习各门学科将来去适应国家的选拔。
8、在课堂上，要注意灵活性，联系学生身边或者成功人士的案例，根据教材的内容进行教学，突出课堂的兴趣性，实效性，有用性等原则。让学生学有所获，在课堂上学生不感到学习枯燥，爱学习职业生涯设计课程。
9、平时作业尽量在课堂上完成，不要去占学生平时的时间，考试形式不一定都采取闭卷，应灵活些。
10、存在的问题：教学形式有待进一步研究，教学案例要不断丰富，对不同层次的学生采用多种形式的教学方法，社会实践活动的内容一次不要安排得过多，内容尽要符合学生的特点，活动成果要进行检查，评定学生的成绩。
重庆市鱼嘴高级中学
政治教研组
2010年1月26日
2
篇3：上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen
上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文关键词：高一，上海，期末，复习，数学
上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文简介：高一下期末复习资料板块一指对幂函数【知识要求】（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。1.1对数恒等式：1.2对数公式：（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数，则。．．．．【解析
上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文内容：
高一下期末复习资料
板块一指对幂函数
【知识要求】
（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。
1.1对数恒等式：
1.2对数公式：
（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。
（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。
【经典例题】
【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数，则。
．．．．
【解析】；，。
（2）【2010湖北文05】函数的定义域为。
．．．．
【解析】；。
（3）【2010重庆文04】函数的值域是。
．．．．
【解析】；，
。
【例2】【2010北京文06】给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数的序号是。
．①②．②③．③④．①④
【解析】；根据函数图像可得②③满足题意。
【例3】【2010全国Ⅰ文10理08】设，，，则。
．．
．．
【解析】；∵，，，∴，又∵，，∴。综上，。
板块二三角比
【知识要求】
（1）角的定义与表示
1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（动态的定义）
1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。
1.3表示：与角终边一致的角：
1.4弧度制
1.4.1为什么引进弧度制？:以实现角度与实数的一一对应，为三角函数“正名”。
1.4.2弧度制与角度制（六十进制）的互换：采用比例式互换。
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做。圆心角；扇形面积。
；。
（2）三角比的定义
2.1三角比的定义
①用直角三角形边之比定义锐角三角比；
，，，，
正割：，余割：
②用终边上点的坐标定义任意角的三角比；
在任意角的终边上任取一点。设点的坐标为，则。
，，。
由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负：
一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。
③用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。
，，
2.2特殊角的三角比
（）
（）
（）
（）
（）
不存在
不存在
速记口诀如下：
0
30
45
60
90度，正余弦及正切值。
数字0
1
2
3
4
，除以4求算术根；
计算结果都存在，对应五角正弦值。
数字4
3
2
1
0，除以4求算术根；
计算结果都存在，对应五角余弦值。
数字0
1
2
3
4
，数字4
3
2
1
0，
对应相除若有商，算术根乃正切值。
（3）同角三角恒等式
【注】、、、、、以上表达式只需知其一，其余的必可求解！
（4）诱导公式
口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成的形式，然后用口诀。
（5）两角和差展开公式
（6）二倍角公式
半角公式
（7）辅助角公式（提携公式）
，，
，，
【经典例题】
【例4】（1）若是第二象限角，那么和都不是。
．第一象限角
．第二象限角
．第三象限角．第四象限角
【解析】；∵是第二象限角，∴是第一或三象限角，为第三象限角，∴为第四象限角，故和都不是第二象限角。
（2）扇形的中心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为。
【解析】；设扇形半径为，内切圆半径为。，∴。
【例5】（1）【2010山东明天中学】已知角的终边过点，且，则的值为。
．
．
．
．
【解析】；∵，即，∴，∴，又∵，，∴角的终边应在第三象限，∴，∴。
（2）【2009重庆文06】下列关系式中正确的是。
．
．
．
．
【解析】；在单位圆中画出、、分别所对应的三角函数线可得。
【例6】（1）【2009山东临沂】已知，，则的值是。
【解析】；法一：∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴。则。
法二：∵，∴，∴，∴，∴，即，∴或，又∵，，，∴，∴。
（2）【2009安徽合肥】已知，则。
．
．
．
．
【解析】；∵，∴，∴
。
【例7】（1）【2010全国Ⅰ02】记，那么
。
．．．
．
【解析】；，则，故。
（2）【2009安徽皖北】若，则
。
．．．
．
【解析】；。
【例8】（1）已知，则。
【解析】；∵，∴
∴。
（2）已知为锐角，且，则。
【解析】；∵为锐角，∴，∴
，∴
。
【例9】（1）已知，则
。
【解析】；。
（2）已知，则
。
【解析】；
，∴。
【例10】（1）【2008四川非延考理05】若，，则的取值范围是。
．
．
．
．
【解析】；
，，，又∵，∴。
（2）若，且，则。
【解析】；
，又∵，∴，∴。∴
。
板块三三角函数
【知识要求】
（1）定义：一般地，形如，，的函数称为三角函数。
（2）图像
①由单位圆上的有向线段平移所得
②五点法
（3）图像变换
①同名函数之间进行变换；
②所有变换必须针对或；
③左加右减，“上正下负”。
（4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称
【经典例题】
【例11】（1）作出函数的图像。
【解析】法一：用“五点法”
法二：通过图像变换绘制。由的图像，向左平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的，横坐标不变纵坐标变为原来的倍。
（2）【2010江苏10】定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作轴于点，直线与的图像交于点，则线段的长为。
【解析】；根据题意画出函数图像，显然线段的长度为在点处所对应的函数值。记点处的横坐标为，则。又有，又因为，所以（舍）或。
【例12】（1）【2010天津文08】右图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将的图像上所有的点。
(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
(B)
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(C)
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
(D)
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【解析】；由图像可知函数的周期为，振幅为，所以函数的表达式可以是。代入可得的一个值为，故函数的一个表达式为，所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。
（2）【2005天津理08】要得到的图像，只需将函数的图像上所有的点的。
A、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
【解析】
；的周期是的周期的2倍，从周期的变化上知道横坐标应该伸长。排除A、B。的横坐标伸长2倍后变成了，将化成正弦形式为，根据口诀“左加右减”得由向右移动。
【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数的部分图像如图所示，则。
A．
B．
C．
D．
【解析】；，所以，又因为，所以。
（2）【2009浙江理08】已知是实数，则函数的图像不可能是。
【解析】；选项：，而由图像的振幅可得两者相互矛盾。
【例14】（1）【2010浙江理11】函数的最小正周期是______。
【解析】；
，故最小正周期为。
（2）【2010北京理15改编】函数的最大值为______，最小值为______。
【解析】，；
，。因为，所以，当时，取最大值；当时，取最小值。
（3）【自编】函数，的值域为______。
【解析】；令，当时，，则。
又有，
则原函数可化为，当时，，故函数的值域为。
【例15】（1）【自编】已知函数，
（ⅰ）求函数的值域；
（ⅱ）求函数的最小正周期；
（ⅲ）求函数的单调性；
（ⅳ）求函数的对称轴和对称中心；
【解析】
（ⅰ），，，，即值域为。
（ⅱ），即最小正周期为。
（ⅲ）函数的增区间为
函数的减区间为
【注】在下列区间内函数单调递减的是______。
A．B．C．D．
【解析】；此题的函数为复合函数，在考查单调性时严格采用“同增异减”的口诀。特别需要注意函数的复合形式。
令，，，可见函数单调递减，单调递增，则要求整个函数的减区间，只要单调递增即可。所以，即，。显然备选答案是上述区间的一个子区间。
（ⅳ）对称轴：，
对称中心：，所以对称中心为，。
（2）【自编】下列命题
①函数的最小正周期是；
②函数在（，）上是递增的；
③函数的图像关于点中心对称；
④函数是奇函数。
其中正确命题的序号为。
【解析】①③④；
①，故最小正周期；②，函数的递增区间为，即，，而，；③对称中心：，，当，，所以点为函数的对称中心；④，所以函数为奇函数。
【例16】（1）【2003天津文21】已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。
【解析】函数是上的偶函数，∴，即，又，则；
函数关于点对称，∴
函数，；
在区间上是单调函数，∴，又，∴；
综上，，或，经检验以上两组答案均满足题意。
【注】此题为逆向问题，告诉三角函数的相关性质，求解参量。对于此类问题总结如下：
1、
已知直接代入；
2、
已知奇偶性：
3、
已知对称
轴对称：关于轴对称或
在同一周期内
中心对称：关于点中心对称或
在同一周期内
4、
已知周期
5、
已知单调特性
6、
已知最值或最值分布情况振幅或周期
提醒：因为以上结论均非充要条件，故解完此类问题，需代回原函数进行检验。
（2）【2008辽宁理16】已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________。
【解析】；因为，且在区间有最小值，无最大值，所以
，；
进一步挖掘函数在区间有最小值，无最大值，有，又因为，所以；
综上，。经检验满足题意。
板块四反函数
【知识要求】
1.1定义：若函数的定义域为，值域为，对于中每一个元素在中有唯一确定的元素与之对应，则函数存在反函数，即为，否则不存在反函数。
1.2存在反函数的前提条件：一一映射。
1.3求反函数的步骤：①求值域；②反解；③互换
1.4互为反函数的两函数的性质：
①奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。
②单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。
③原函数与反函数关于直线对称。
1.5反三角：
①反三角公式：，
，
当时，当时，
当时，当时，
②反三角函数的图像和性质
名称
定
义
定义域
值
域
图
像
x
y
1
O5
-1
反正弦
函数
y=arcsinx
(y=sinx,x?[-,]
的反函数)
[-1,1]
[-,]
x
y
1
O5
-1
p
反余弦
函数
y=arccosx
(y=cosx,x?[0,p]的反
函数)
[-1,1]
[0,p]
x
y
O5
反正切
函数
y=arctanx
(y=tanx,x?(-,)
的反函数)
(-￥,+￥)
(-,)
【经典例题】
【例17】（1）函数的反函数为。
【解析】，；，当时，函数的值域为。∴，则，∴反函数为，。
（2）【1992全国理】函数的反函数为。
．奇函数，且在单调递减．偶函数，且在单调递
．奇函数，且在单调递增．偶函数，且在单调递增
【解析】；原函数定义域为关于原点对称，且有，故原函数为奇函数，∴反函数也为奇函数。∵函数在单调递增，函数在单调递减，∴函数在在单调递增，∴反函数在上也单调递增。
（3）【2004全国理15】已知函数是奇函数。当时，，设的反函数是，则。
【解析】；原函数为奇函数，则反函数也为奇函数，故，令，解得，∴。
【例18】（1）【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：，，则等于。
．．．．
【解析】；
（2）【2008上海南模中学高一下期末试题05】若，则的取值范围是。
【解析】；∵，∴，根据的图像可得。
板块五解三角
【知识要求】
（1）解三角工具
1.1解三角问题：、、、、、、、，已知部分量，求解其它量的问题
1.2解三角工具
①，
②
为内切圆半径，
③正弦定理：，为外接圆半径
变形：1）
2）
适用情况：1）两角一边；2）两边一对角
④余弦定理：，，
变形：，，
适用情况：1）三边；2）两边一夹角
⑤三角形内的诱导公式
，，
，，，
⑥三角形内的不等关系：
1）大边对大角，大角对大边；
2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3），；
4）锐角三角形任一角的余弦值大于；钝角三角形最大角的余弦值小于；
；
；
；
5）；
6）在中，给定、的正弦或余弦值，则有解的充要条件为。
（2）解三角思想
2.1、、、、、、、，个量其中知三，必可求其余量（三角除外）；
2.2边角，角边
【经典例题】
【例19】（1）【2010山东文15理15】在中，角、、对应的边分别为、、，若，，，则角的大小为。
【解析】；∵，∴，又∵，∴。又∵，∴，又∵，∴或（舍）
（2）【2009湖南文14】在锐角中，，，则的值等于，的取值范围为。
【解析】；；由正弦定理可得，∵，∴，∴。又∵锐角，∴
，∴。
（3）在中，下列结论：①若，则此三角形为钝角三角形；②若，则此三角形为等腰三角形；③若，则；④，其中正确的个数为。
．个．个．个．个
【解析】；，故此三角形为钝角三角形，①正确；
，又∵，∴，故②正确；∵，∴，又∵，∴，故③正确；∵，即，∴，即，故④正确。
【例20】（1）【2008浙江文14理13】在中，角、、对应的边分别为、、，若，则。
【解析】；法一：
。
法二：
，则。
（2）【2010江苏13】在锐角中，角、、对应的边分别为、、，若，则的值是。
【解析】；∵，∴，则。。
【例21】【2010陕西理17】如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？
【解析】，
又∵，∴（海里），∴
，∴（海里），
∴时间（小时）。答：救援船到达点需要小时。
板块六方程
【知识要求】
（1）“8”字环思想
【经典例题】
【例22】【2009闸北高一下期末考试】已知函数。
（1）求方程的所有解；
（2）若方程在范围内有两个不同的解，求实数的取值范围。
【解析】（1）
由题意，有，得
。
（2）当时，方程有两个不同解，
等价于函数与（）的图像有两个不同的交点。
由函数的图像性质得。
【例23】（1）【2010浙江文09】已知是函数的一个零点。若，，则。
．，．，
．，．，
【解析】；根据图像可得，当幂函数图像在指数函数图像上方，故；当指数函数图像在幂函数图像上方，故。
（2）【2010上海文17】若是方程的解，则属于区间。
．．
．．
【解析】；令，，，，则，所以两图像的交点位于之间。
板块七数列通论
【知识要求】
1.1定义
1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。
【注】数列是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的特殊函数。
2）通项公式：数列的第项与之间的关系。即，。
3）前项和：。前项和也可写成关于的函数，即，。
4）递推公式：已知数列的第项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。
【注】通项公式、前项和以及递推公式（包括第项或前几项）都是给出数列的方式。
1.2表示
1）列举；2）解析（通项、前项和、递推三种形式）；3）图象（孤立的点（离散的点））；
1.3分类
1）有穷数列、无穷数列；
2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；
3）有界数列、无界数列。
1.4等差数列
1）
定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即。
【注】证明等差数列的两种方法：
①；②。
2）
通项公式：，（累加）
3）
前项和：，（倒序相加）
4）
、、、、中知三求二。
1.5等比数列
1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即
【注】证明等比数列的两种方法：
①
；②。
2）通项公式：，（累乘）
3）前项和：，当时，也可写成（错位相减）
4）、、、、中知三求二。
1.6用函数观点来分析等差、等比
1）等差：（一次型函数），
（没有常数项的二次型函数）
2）等比：（指数型函数），
（分段函数，分别为一次型和指数型函数）
1.7等差数列性质
1）【拓展】
2）等差中项：
【拓展】①当时，有；
【注】等差数列，若，则不一定成立。
②【注】
3）衍生等差数列：
①为等差数列，公差；
②为等差数列，公差；
③（其中为间距，为起始项，）为等差数列，即等距项为等差数列，公差；
④，，，，…为等差数列，公差；
⑤为等差数列，公差；
⑥其它：
1）项数为奇数的等差数列，有：，；
项数为偶数的等差数列，有：，；
2）等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，，则；
等差数列中，若，则，；
等差数列中，若，则，。
1.8等比数列性质
1）【拓展】
2）等比中项：
【拓展】①当时，有；
【注】等比数列，若，则不一定成立。
②
3）衍生等比数列：
①对任意非零实数，为等比数列，公比为；
②为等比数列，公比为；为等比数列，公比为；
③，，，，…依然成等比数列，公比为。
【注】若，，则，，，…就不成等比数列。
【经典例题】
【例24】（1）【2008北京理06】已知数列对任意、满足，且，那么等于。
．．．．
【解析】；法一：。
法二：令，则，故数列的所有偶数项和奇数项分别成等差数列，所以。
（2）数列满足：，若，则数列的第2010项为。
【解析】；∵，∴，，。∴数列的周期为，。
【例25】（1）已知，则在数列中最大项为。
【解析】；，令，则当时，函数取最小值。而，则当或或其中之一时，，取得最小值，，，所以当或时，有。
（2）已知数列中，，且是递增数列，则实数的取值范围为。
【解析】；法一：∵是递增数列，∴对任意的，有，即，令，则，又∵当时，，∴。
法二：，则其图象为抛物线上离散的点。又∵是递增数列，∴只要对称轴小于，即。
【例26】（1）已知等比数列中，，，则。
【解析】或；
（2）已知，，成等差数列，，，，，成等比数列，则。
【解析】；
（3）已知数列的通项为，，数列的每一项都有，则数列的前项和。
【解析】
令，所以当时，，所以此时；当时，，所以此时。综上，
（4）【2006北京理07】设，则等于。
．．．．
【解析】；法一：赋值。令，则；法二：；法三：
【例27】（1）【2009全国Ⅰ文14理14】设等差数列的前项和为，若，则。
【解析】；，。
（2）【2009辽宁理06】设等比数列的前项和为，若，则。
．．．．
【解析】；由等比数列性质：、、仍成等比数列，又因为，所以，则。
（3）等差数列、的前项和分别为、，且，则。
【解析】；∵等差数列、，∴，则。
（4）【2010广东四校联考】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，给出下列结论：
①；
②；
③的值是中最大的；
④使成立的最大自然数等于。
其中正确的结论是。
【解析】①②④；∵，即，∴与同号，即，又∵且，∴（可用反证法），故①正确；∵且，，则故②正确；∵且，故中最大的是，故③错误；∵，，故④正确。
板块八通项、前项和、递推公式之间的推导
【知识要求】
数列中的核心问题：
1.1
通法：
（1）公式求和：
①：
②：
③
（2）裂项相消
①分式：
②根式：
③对数：
④指数：
⑤其它：
（3）错位相减
错位相减用于差比数列（）求和；
（4）倒序相加
主要用在类似于（与指数相关函数，其中定值）以及组合数问题上；
（5）分组求和
通项由多成分构成，可单独求和再相加。
【注】在选用方法时，可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。
1.2
通法：
1.3递推关系式、
（1）递推关系式的形式
递推关系式的三种形式：①只含；②只含；③同时含有和
将第三种情况向第一种或第二种转化
转化的工具：采用，可以消，也可消。但无论采用哪种都需要分类讨论。
方法的选择取决于以下两点：①谁比较好消；②问题求什么。前者作为主导因素。
(2)
递推、
①累加法
遇到；；用累加法。
②累乘法
遇到（）；；用累乘法。
③构造熟悉数列
▲公式法
1）
当时，用累加；当时，采用待定系数法或两边同除以求解。
当时，用待定系数法或两边同除以。
2）非线性问题
ⅰ）问题，可考虑两边取对数。
ⅱ）或，可考虑取倒数或两边同除以。
3）多项递推问题
ⅰ）问题，可考虑采用特征方程，但在高考中试题往往有所提示。
ⅱ）无穷多项递推，可多些一项或少写一项，然后作差或作商。
④数学归纳法
【经典例题】
【例28】【2010山东理18】已知等差数列满足：，。的前项和为。
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）∵，，∴，∴，；，。
（Ⅱ），∴，故，即数列的前项和
，。
【例29】【2010全国新课标理17】设数列满足，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和。
【解析】（Ⅰ）当时，
，而，所以数列的通项公式为，。
（Ⅱ）由，得——①，从而——②
由①—②得，所以，。
【例30】（1）已知数列的前项和，则此数列的通项公式为。
【解析】
（2）已知数列的前项和，。求。
【解析】当时，；当时，不满足前式。所以综上，
【例31】已知数列的前项和为，其中，，求。
【解析】当时，，两边同时除以，可得，所以数列是以为公差的等差数列，首项为，
所以，即，则
，显然当时，不满足上式。综上，
【例32】已知数列中，，，求。
【解析】∵，∴当时，，则，显然，也满足上式。综上，通项，。
【例33】（1）已知数列中，，，。求数列的通项。
（2）已知数列中，，，。求数列的通项。
（3）已知数列中，，，。求数列的通项。
（4）已知数列中，，，。求数列的通项。
【解析】（1）法一：当时，。设，则，可得。即。令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
法二：当时，，两边同时除以，则。令，则，。∴
，∴，显然也满足上式。∴综上，，。
（2）当时，。设，则，可得，。∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
【注】此题也可两边同除以求解，但相对计算量要大一些。
（3）法一：当时，。设，则，可得，，∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。
法二：两边同除以可得，令，则，，∴
，
则，，∴，
显然也满足上式。∴综上，，。
（4）两边同除以可得，令，则，，∴，，∴，。
显然也满足上式。∴综上，，。
【例44】（1）已知数列中，，。求数列的通项。
【解析】根据题意可知数列中每一项均为正数，则，即，∴，∴，。则，。显然也满足上式。综上，通项，。
（2）已知数列中，，。求数列的通项。
【解析】法一：对递推关系式两边同时取倒数，可得，即，∴数列为等差数列。。则，。
法二：，两边同除以，可得，接下来解析同上。
【例45】（1）已知数列，，且，求通项公式。
【解析】设，∴
令
可得
于是…，
∴，即是以为首项、为公差的等差数列，
∴，从而，。
（2）数列满足，求数列的通项公式和前项和。
【解析】∵，∴，两式作差可得，；当时，显然不满足上式。∴。当时，；当时，，显然也满足上式，∴综上，，。
【例46】【2006全国Ⅱ理22】设数列的前项和为，且方程有一根为，
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求的通项公式。
【解析】（Ⅰ）当时，有一根为，则，解得；
当时，有一根为，则，解得。
（Ⅱ）有题设，即。
当时，代入上式可得，进而，∵，，，∴猜测，。
当时，命题显然成立；
假设当，时，命题也成立。即。
当时，由得
，也满足命题。
综上，。
∴当时，；
当时，显然也满足上通项。
∴综上，，。
【例47】【2010安徽理20】设数列，，…，，…中的每一项都不为。
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。
【解析】必要性证明：
①当公差时，为常数列，显然成立。
②当公差时，
充分性证明：
∵，∴，两式作差可得，化简得。同理可得，，两式作差可得，即，∴数列是等差数列。
【注】充分性的证明也可采用数学归纳法。
教师版
