四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形 本文关键词：几何图形，题型，中考，函数，专项
四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形 本文简介：专项(十二)二次函数与几何图形的综合题类型1探究图形面积的数量关系及最值问题1．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)．写出四边形OACB的面积S关于点C
四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形 本文内容：
专项(十二)
二次函数与几何图形的综合题
类型1
探究图形面积的数量关系及最值问题
1．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．
解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx.得
解得
(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，F.
S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．
∵S＝－(x－4)2＋16.
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
2．(2016·雅安中学一诊)如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A，B两点，并与直线y＝x－2交于B，C两点，其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点，连接AC.
(1)求抛物线解析式；
(2)求证：△ABC为直角三角形；
(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．
解：(1)∵直线y＝x－2交x轴，y轴于B，C两点，
∴B(4，0)，C(0，－2)．
∵y＝ax2－x＋c经过点B，C，
∴解得
∴y＝x2－x－2.
(2)令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
∴OA＝1，OB＝4.∴AB＝5.
∴AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，AB2＝25.
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC为直角三角形．
(3)连接CD，BD，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b.
∵将B(4，0)，C(0，－2)代入，得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x－2.
设点D(a，a－2)，则点P(a，a2－a－2)．
∵PD＝PE－DE＝－a2＋a＋2＋(a－2)＝－a2＋2a，
∴当a＝2时，PD有最大值，PD的最大值为2.
∵S四边形ACPB＝S△ACB＋S△CBP＝AB·OC＋OB·DP＝×5×2＋×4·DP＝5＋2PD.
∴当PD最大时，四边形ACPB的面积最大．
∴当点P的坐标为(2，－3)时，四边形ACPB的面积的最大值为5＋2×2＝9.
3．(2015·攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，过点D作DH⊥x轴于点H，连接DC，DB.
令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．
S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC
＝(－t2＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t2＋2t＋3)－×3×3
＝－t2＋t.
∵－＜0，
∴当t＝－＝时，即点D坐标为(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为.
(3)存在．
∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，
∵直线BC解析式为为y＝－x＋3，
∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.
由解得∴Q1(2，3)．
∵直线PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式y＝－x＋3，
∴M(1，2)．
设PM与x轴交于点E，∵PM＝EM＝2，
∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.
从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．
联立
解得
∴Q2(，－)，Q3(，－)．
∴满足条件的Q点坐标为(2，3)，(，－)或(，－)．
类型2
探究线段的数量关系及最值问题
4．(2016·成都青羊区二诊改编)已知抛物线y＝x2＋(－1)x－2(a＞0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
(1)若抛物线过点D(2，－2)，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE＋CE最小，求出点E的坐标．
解：(1)∵抛物线过点D(2，－2)，
∴×4＋(－1)×2－2＝－2，
解得a＝4.
(2)∵点A，B是抛物线与x轴的交点，
∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点．
∴连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AE＋CE最小的点．
∵a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.
令y＝0，则x2－x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4.
令x＝0，则y＝－2.
∴A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)，对称轴为直线x＝1.
∴直线BC解析式为y＝x－2.
∵当x＝1时，y＝－，
∴E(1，－)．
5．(2015·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.
(1)求抛物线解析式；
(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1 (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值． 解：(1)由题意，得－＝1， ∴b＝2. ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)， ∴－x2＋bx＋c＝0的解为m－2和2m＋1. ∴(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c. ∴m＝1，c＝3. ∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3. (2)联立得x2＋(k－2)x－1＝0. ∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4. ∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2. ∴解得x1＝－1，x2＝1，则y1＝0，y2＝4. ∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4)． (3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)． ∵L＝OB＋BP＋PC＋CO， 又∵线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变， ∴要使L最小，只需BP＋CO最短． 如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形．∴C′(3，3)． 作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′. 设C′P′解析式为y＝ax＋n. ∴ 解得 ∴y＝x－. 当y＝0时，x＝，∴B′(，0)． 又3－＝，故点B向左平移个单位，平移到B′. 同时，点O向左平移个单位，平移到O′(－，0)， 即线段OB向左平移个单位时，周长L最短． 此时，线段BP，CO之和最短为P′C′＝＝，O′B′＝OB＝3，CP＝. ∴当线段OB向左平移个单位，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为＋＋3. 类型3 探究特殊三角形的存在性问题 6．如图，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′. (1)求m的值； (2)求抛物线E2的函数解析式； (3)在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线E1经过点A(1，m)，∴m＝12＝1. (2)∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数解析式为y＝ax2(a≠0)， 又∵点B(2，2)在抛物线E2上， ∴2＝a×22.解得a＝. ∴抛物线E2的函数解析式为y＝x2. (3)假设在抛物线E1上存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形． ①当点B为直角顶点时，过点B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于点Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2. 将x＝2代入y＝x2，得y＝4. ∴点Q1(2，4)； ②当点Q2为直角顶点时，则有Q2B′2＋Q2B2＝B′B2，过点Q2作Q2G⊥BB′于点G. 设点Q2的坐标为(t，t2)(t＞0)，则有(t＋2)2＋(t2－2)2＋(2－t)2＋(t2－2)2＝42，整理得t4－3t2＝0. ∵t＞0，∴t2－3＝0，解得t1＝，t2＝－(舍去)． ∴点Q2(，3)． 综上所述，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)． 7．(2016·雅安中学二诊)如图，已知抛物线与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其中x1，x2为方程x2－2x－8＝0的两个根． (1)求该抛物线的解析式； (2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q(x，0)，△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值； (3)点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)解方程x2－2x－8＝0，得x1＝4，x2＝－2. ∴A(4，0)，B(－2，0)． 设抛物线解析式为 y＝a(x－4)(x＋2)． 将C(0，4)代入， 解得a＝－. ∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4. (2)由Q(x，0)，可得BQ＝x＋2，AQ＝4－x， 过点E作EH⊥AB于点H. ∴EH∥CO.∴＝. 又∵QE∥AC，∴＝.∴＝. ∴＝，即EH＝(x＋2)． ∵S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝(x＋2)·4－(x＋2)·(x＋2)， ∴y关于x的函数关系式为y＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋3(－2＜x＜4)． ∴△CQE的面积的最大值为3. (3)存在点F使得△OMF是等腰三角形． 设AC的解析式为y＝kx＋b. ∵直线AC过点A(4，0)和C(0，4)， ∴解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋4. ∵点F在AC上，设F(x，－x＋4)， ∴OF＝， MF＝，OM＝2. 若△OMF是等腰三角形，则可能有三种情况： ①如图1，当OF＝FM时，F的横坐标应为1，∴F(1，3)； ②当OM＝OF＝2时，＝2， 化简得x2－4x＋6＝0. ∵Δ＝－8＜0∴这种情况不存在； ③如图2，当OM＝MF时，＝4， 化简得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4(舍去)． ∴F(2，2)． 综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F(1，3)或(2，2)． 8．(2016·凉山模拟)如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB＝1. (1)求经过点O，A，E三点的抛物线解析式； (2)点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)点A的坐标是(2，0)，点E的坐标是(1，2)． 设抛物线的解析式是y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得 解得 ∴抛物线的解析式是y＝－2x2＋4x. (2)当△OAP的面积是2时，点P的纵坐标是2或－2. 当－2x2＋4x＝2时，解得x＝1， ∴点P的坐标是(1，2)； 当－2x2＋4x＝－2时，解得x＝1±， 此时点P的坐标是(1＋，－2)或(1－，－2)． 综上，点P的坐标为(1，2)，(1＋，－2)或(1－，－2)． (3)∵AF＝AB＋BF＝2＋1＝3，OA＝2. 则点A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上； 当点F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上； 当点Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF＝，若点Q存在，则Q的坐标是(，)．将Q(，)代入抛物线解析式成立． ∴抛物线上存在点Q(，)使△AFQ是等腰直角三角形． 类型4 探究特殊四边形的存在性问题 9．(2016·雅安中学三诊)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0，7)两点． (1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当x为何值时，y＞0? (3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为点F，E.当矩形CDEF为正方形时，求点C的坐标． 解：(1)把A(－2，－1)，B(0，7)两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋7. ∵y＝－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8， ∴对称轴为直线x＝1. (2)当y＝0时，－x2＋2x＋7＝0，解得x＝1±2， 由图象知1－2＜x＜1＋2时，y＞0. (3)设C点的坐标为(m，n)，∵矩形CDEF为正方形， ∴n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7. ∵C，D两点的纵坐标相等，∴C，D两点关于对称轴x＝1对称． 设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1， ∴p＝2－m，∴CD＝(2－m)－m＝2－2m. ∵CD＝CF，∴2－2m＝－m2＋2m＋7. 解得m1＝－1，m2＝5. ∵点C在对称轴的左侧，∴m只能取－1. 当m＝－1时，n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.∴点C的坐标为(－1，4)． 10．(2016·德阳旌阳区一模)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设抛物线顶点为E，根据题意OA＝4，OC＝3，得E(2，3)． 设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋3. 将A(4，0)代入，得0＝4a＋3，解得a＝－. ∴抛物线解析式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋3x. (2)设直线AC解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 将A(4，0)与C(0，3)代入，得 解得 ∴直线AC解析式为y＝－x＋3. 与抛物线解析式联立，得 解得 ∴点D坐标为(1，)． (3)假设存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，如图1所示． 四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM＝AN， 由对称性得到M(3，)，即DM＝2，故AN＝2， ∴N1(2，0)，N2(6，0)； ②当点M在x轴下方时，如图2所示． 过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP＝DQ＝，NP＝AQ＝3， 将yM＝－代入抛物线解析式得－＝－x2＋3x， 解得xM＝2－或xM＝2＋， ∴xN＝xM－3＝－－1或－1， ∴N3(－－1，0)，N4(－1，0)． ∴假设成立． 综上所述，满足条件的点N有4个：N1(2，0)，N2(6，0)，N3(－－1，0)，N4(－1，0)． 11．(2016·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，－)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧． (1)求a的值及点A，B的坐标； (2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数解析式； (3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝a(x＋1)2－3与y轴交于点C(0，－)． ∴a－3＝－，解得a＝. ∴y＝(x＋1)2－3. 当y＝0时，有(x＋1)2－3＝0， ∴x1＝2，x2＝－4. ∴A(－4，0)，B(2，0)． (2)∵A(－4，0)，B(2，0)，C(0，－)，D(－1，－3)， ∴S四边形ABCD＝S△AHD＋S梯形OCDH＋S△BOC＝×3×3＋×(＋3)×1＋×2×＝10. 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： ①当直线l与边AD相交于点M1时，则S△AHM1＝×10＝3，∴×3×(－yM1)＝3. ∴yM1＝－2，点M1(－2，－2)，过点H(－1，0)和M1(－2，－2)的直线l的解析式为y＝2x＋2； ②当直线l与边BC相交于点M2时，同理可得点M2(，－2)，过点H(－1，0)和M2(，－2)的直线l的解析式为y＝－x－. 综上：直线l的函数解析式为y＝2x＋2或y＝－x－. (3)假设以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且过点H(－1，0)的直线PQ的解析式为y＝kx＋b. ∴－k＋b＝0，∴y＝kx＋k. 联立得x2＋(－k)x－－k＝0. ∴x1＋x2＝－2＋3k，y1＋y2＝kx1＋k＋kx2＋k＝3k2. ∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式得点M(k－1，k2)． 假设存在这样的N点如图所示，直线DN∥PQ. 设直线DN的解析式为y＝kx＋k－3. 联立 解得x1＝－1，x2＝3k－1.∴N(3k－1，3k2－3)． ∵四边形DMPN是菱形，∴DN＝DM. ∴(3k)2＋(3k2)2＝()2＋(k2＋3)2. 整理得3k4－k2－4＝0，(k2＋1)(3k2－4)＝0. ∵k2＋1＞0，∴3k2－4＝0.解得k＝±. ∵k＜0，∴k＝－. ∴P(－3－1，6)，M(－－1，2)，N(－2－1，1)． ∴PM＝DN＝2. ∵PM∥DN， ∴四边形DMPN为菱形． ∴假设成立，即以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(－2－1，1)． 类型5 探究三角形相似问题 12．已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A，D，C，其对称轴与直线AB交于点P， (1)求抛物线的解析式； (2)求∠POC的正切值； (3)若点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标． 解：(1)当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－2. 当x＝0时，y＝1，∴A(－2，0)，B(0，1)． ∵△AOB顺时针旋转90°得到△COD， ∴C(0，2)，D(1，0)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A，D，C， ∴解得 ∴抛物线解析式为y＝－x2－x＋2. (2)根据(1)，抛物线对称轴为 x＝－＝－＝－， ×(－)＋1＝，∴点P的坐标为(－，)． 过点P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ∥y轴， ∴∠POC＝∠OPQ. ∵tan∠OPQ＝＝，∴tan∠POC＝. (3)∵点M在x轴上，且△ABM与△APD相似， ∴点M必在点A的右侧， AP＝2＝， AB＝＝，AD＝1－(－2)＝1＋2＝3. ∵∠A＝∠A， ∴①AP和AB是对应边时， ＝，即＝，解得AM＝4. 设点M坐标为(x，0)，则x－(－2)＝4，解得x＝2. ∴点M的坐标为(2，0)； ②AP和AM是对应边时， ＝，即＝，解得AM＝. 设点M坐标为(x，0)，则x－(－2)＝， 解得x＝－. ∴点M的坐标为(－，0)． 综上所述，当点M(2，0)或(－，0)时，△ABM与△APD相似． 13．(2016·大邑县一诊改编)如图，二次函数y＝－ax2－4ax－的图象c交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，过点A的直线y＝kx＋3k(k＜－)交c于另一点C(x1，y1)，交y轴于点M. (1)求点A的坐标，并求二次函数的解析式； (2)过点B作BD⊥AC交AC于点D，若M(0，－3)且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标． 解：(1)设y＝0，即kx＋3k＝0，解得x＝－3. ∴A(－3，0)． ∵A(－3，0)在y＝－ax2－4ax－的图象上， ∴0＝－9a＋12a－， 解得a＝. ∴该二次函数的解析式为y＝－x2－x－. (2)在Rt△AOM中，OA＝3，OM＝3tan∠OAM＝＝，∴∠OAM＝60°. ①如图1中，当Q在DA的延长线上时， ∠BQD＝30°，△BQD∽△AOM， 在Rt△ABD中，BD＝BAsin60°＝. 在Rt△BQD中，BD＝BQsin30°＝， 解得BQ＝2. 过点Q作QQ′⊥x轴于点Q′. ∵∠BAD＝60°＝∠BQA＋∠QBA，∠BQD＝30°， ∴∠QBQ′＝30°. 在Rt△BQQ′中，∵∠QBQ′＝30°，BQ＝2， ∴QQ′＝，BQ′＝3. ∴Q(－4，)； ②当点Q与点A重合时，∠BQD＝60°，△DQB∽△OAM，此时点Q(－3，0)； ③如图2中，当点Q在线段DC上时，∠BQD＝60°，△DQB∽△OAM， 在△AQB中，∠BAQ＝∠AQB＝60°，得BQ＝AB＝2. ∴Q(－2，－)； ④如图3中，当∠BQD＝30°时，△DQB∽△OMA，此时BQ∥OM. 设Q(－1，y)在直线y＝－x－3上，解得y＝－2. ∴Q(－1，－2)． 综上所述，Q(－4，)或Q(－3，0)或Q(－2，－)或Q(－1，－2)． 14．(2016·攀枝花)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)． 的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由． 解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得解得 ∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3. (2)连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H. 在y＝x2－2x－3中，令y＝0，则0＝x2－2x－3，解得x＝－1或x＝3. ∴A点坐标为(－1，0)． ∴AB＝3－(－1)＝4，且OC＝3. ∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6. ∵B(3，0)，C(0，－3)， ∴直线BC解析式为y＝x－3. 设P点坐标为(x，x2－2x－3)，则M点坐标为(x，x－3)． ∵P点在第四象限， ∴PM＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x. ∴S△PBC＝PM·OH＋PM·HB＝PM·(OH＋HB)＝PM·OB＝PM. ∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大． ∵PM＝－x2＋3x＝－(x－)2＋， ∴当x＝时，PMmax＝，则S△PBC＝×＝. 此时P点坐标为(，－)，S四边形ABPC＝S△ABC＋S△PBC＝6＋＝. 即当P点坐标为(，－)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为. (3)设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP＝∠GNC＋∠GCN. 当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB＝∠CGB. 又∵∠AGB＋∠CGB＝180°， ∴∠AGB＝∠CGB＝90°. ∴∠ACO＝∠OBN. 在△AOC和△NOB中， ∴△AOC≌△NOB(ASA)． ∴ON＝OA＝1. ∴N点坐标为(0，－1)． 设直线m解析式为y＝kx＋d. 把B，N两点坐标代入，得 解得∴直线m解析式为y＝x－1. 故存在满足条件的直线m，其解析式为y＝x－1. 拓展类型 其他问题 1．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2＋4mx－5m(m＜0)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴与直线y＝x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y＝x上(不与原点重合)，连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF. (1)如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图②所示，小红在探究点P的位置时发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y＝x上任意一点P(不与原点重合)，∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由． 解：(1)∵y＝mx2＋4mx－5m， ∴y＝m(x2＋4x－5)＝m(x＋5)(x－1)． 令y＝0，则m(x＋5)(x－1)＝0. ∵m≠0，∴x＝－5或x＝1. ∴A(－5，0)，B(1，0)． ∴抛物线的对称轴为x＝－2. ∵抛物线的顶点坐标为(－2，6)， ∴－9m＝6，即m＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋. (2)由(1)可知：A(－5，0)，B(1，0)． (3)如图所示，∵OP的解析式为y＝x， ∴∠AOP＝30°.∴∠PBF＝60°. ∵PD⊥PF，FO⊥OD，∴∠DPF＝∠FOD＝90°. ∴∠DPF＋∠FOD＝180°.∴点O，D，P，F共圆． ∴∠PDF＝∠PBF.∴∠PDF＝60°. 2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝x＋2. (1)求b，c的值； (2)过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式； (3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵直线CD的解析式为y＝x＋2， ∴C(0，2)．∴c＝2. 设直线CD交x轴于点A，∴A(－2，0)． ∴＝＝. ∴∠OCA＝30°， 过点D作DM⊥y轴于点M， ∴∠DCM＝30°，CM＝DM， 设抛物线的顶点横坐标为h，则CM＝h， ∴D(h，2＋h)． ∴y＝a(x－h)2＋2＋h. ∵C(0，2)， ∴2＝ah2＋2＋h. 解得h1＝0(舍)，h2＝－. ∴y＝a(x＋)2＋2＋h＝ax2＋2x＋＋2＋h. ∴b＝2. (2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)， ∵∠DCM＝30°， ∴∠CDB＝30，由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形． ∵CE∥x轴， ∴△DAF为等边三角形． ∴点B为AF中点． ∵A(－2，0)，F(4，0)， ∴B(1，0)． 抛物线对称轴为直线x＝1， ∴－＝1. ∴－＝1. ∴a＝－. ∴D(1，3)． ∴y＝－(x－1)2＋3＝－x2＋2x＋2. (3)存在． 过点C作CM⊥DE于点N交抛物线于点M， 此时，△CDM≌△CEM. ∵△CDE为等边三角形， ∴CM为DE的中垂线， ∴DM＝EM，∴△CDM≌△CEM， ∵D(1，3)，E(2，2)， ∴N(，)． 设yCN＝kx＋b，代入(0，2)，(，)，得 ∴yCN＝x＋2. 联立解得 ∴M(，)． 3．(2016·南充模拟)如图，已知：抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是y＝x－2，连接AC. (1)B，C两点坐标分别为B(4，0)，C(0，－2)，抛物线的函数关系式为y＝x2－x－2； (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)在△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC(顶点D，E，F，G在△ABC各边上)？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由． 解：(2)△ABC是直角三角形．理由： 当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4， 则A(－1，0)， ∵AC2＝12＋22＝5，BC2＝42＋22＝20，AB2＝52＝25， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°. (3)能．当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与点C重合，如图1，设CG＝x， ∵DG∥BC， ∴△AGD∽△ACB. ∴AG：AC＝DG∶BC，即(－x)∶＝DG∶2， 解得DG＝2(－x)． ∴S矩形DEFG＝x(2－2x)＝－2x2＋2x＝－2(x－)＋. 此时x＝时，矩形DEFG的面积最大，最大值为， 当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时，如图2，CO交GF于点H，设DG＝x，则OH＝x，CH＝2－x， ∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB， ∴GF∶AB＝CH∶CO，即GF∶5＝(2－x)∶2， 解得GF＝(2－x)． ∴S矩形DEFG＝x·(2－x)＝－x2＋5x＝－(x－1)2＋，此时x＝1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为. 综上所述，当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时和当矩形DEFG一个顶点D在AB上最大面积相同， ∵DG＝1，∴DE＝×(2－1)＝，∵DG∥OC， ∴△ADG∽△AOC， ∴AD∶AO＝DG∶OC，即AD∶1＝1∶2. 解得AD＝. ∴OD＝. ∴OE＝－＝2. ∴D(－，0)，E(2，0)． 当矩形一个顶点在AB上时， GD＝2(－x)＝，AG＝， ∴AD＝，OD＝AD－OA＝. ∴D(，0)． 综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形DEFC， 当矩形两个顶点在A，B上时坐标为D(－，0)，E(2，0)， 当矩形只有一个顶点在AB上时，坐标为D(，0)．
