圆经典例题分析总结

发布时间:2021-10-28 11:57:28

圆经典例题分析总结 本文关键词：例题，经典，分析

圆经典例题分析总结 本文简介：全国中考信息资源门户网站www.jsfw8.com圆经典例题分析总结经典例题透析1．垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.1．某居民小区的一

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圆经典例题分析总结

经典例题透析

1．垂径定理及其应用

在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.

1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.

思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.

解：(1)作法略.如图所示.

(2)如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，

∵

OC⊥AB，

∴

由题意可知，CD=4cm.

设半径为x

cm，则.

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

∴.

∴

即这个圆形截面的半径为10cm.

总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.

举一反三：

【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(

)

A．12.5寸

B．13寸

C．25寸

D．26寸

答案：D

解析：因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.

根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，

知(寸)，在Rt△AOE中，，

即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).

2．圆周角及其应用

圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.

2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于(

)

A.30°

B.60°

C.75°

D.90°

思路点拨：本题可求先出∠BAC的度数，∠BAC所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为360°-120°=240°，所以，因此，.

答案：B.

举一反三：

【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.

答案：∠6，∠2，∠5.

解析：本题中由弦AB=CD可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，故有∠1

=∠6=∠2=∠5.

【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm.

(1)说明AC⊥OD；

(2)求OD的长.

解：(1)∵

AB是⊙O的直径，

∴

∠C=90°，

∵

OD∥CB，∴

∠ADO=∠C=90°，

∴

AC⊥OD.

(2)∵

OD∥BC，O是AB的中点，

∴

D是AC的中点，

∴

3．切线的性质及判定

涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.

3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B.

思路点拨：如图所示，过A作⊙O的直径AD，连接DC，利用角的关系，可证明∠NAC与∠B相等.

证明：过A作直径AD，连接DC，

∴

∠ACD=90°，

∴

∠D+∠DAC=

90°.

∵

∠B=∠D，∴

∠B+∠DAC=90°.

∵

MN是⊙O的切线，

∴

∠NAD=

90°，

∴

∠NAC=∠B.

总结升华：已知切线，经常添加过切点的半径或直径，利用直径(或半径)与切线的垂直关系来解决问题.

举一反三：

【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.

答案：147°.

解析：因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°，

得∠OAM=，∠DAM=90°+57°=147°.

【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF.

思路点拨：已知是⊙O的切线，连接过切点C的半径OC，易得AE∥OC∥BF，因为O是直径的中点，因此，EC=CF.

解：连接OC.

∵

EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF.

∵

AF⊥EF，BF⊥EF，

∴

AE∥OC∥BF.

∵

AO=BO.∴

EC=CF.

总结升华：利用圆心是直径的中点，本题可证得OC为梯形AEFB的中位线.进一步可得AE+BF=AB.

【变式3】如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________________(只填一个即可).

答案：∠BAE=∠C或∠CAF=∠B.

4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.

答案：99°.

解析：由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB=

67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，

在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.

举一反三：

【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：DE∥OC；

证明：连接OD,则∠ODC=90°，∠ODE=∠OED，

由切线长定理得：CD=CB，

∴

Rt△ODC≌Rt△OBC，

∴

∠COB=∠COD，

∵

∠DOE+2∠OED=180°，

又

∠DOE+2∠COB=180°，

∴

∠OED=∠COB，

∴

DE//OC

4．两圆位置的判定

在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力.

5．填空题

(1)已知圆的直径为13

cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.

(2)两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.

思路点拨：(1)直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等价的，由题意可知，圆的半径为6.5cm，而圆心到直线的距离6cmy2，即按甲方案剪得的正方形面积较大.

总结升华：此类问题是生活中的一个实际问题，解决此类问题时，应先将实际问题转化为数学问题.

10．已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.

(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条

件的图形.

(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写

出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.

(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的

取值范围.

思路点拨：如图所示，连接OD，因为DE是⊙O的切线，故∠ODE=90°，又OA=OD，故∠A=∠ODA，

∠OAP+∠OPD=90°，∠ODA+∠ADC=90°，故∠OPD=∠ADC=∠EDP，△DEP是等腰三角形.

解：(1)在BF上取点P，连AP交⊙O于点D，过D作⊙O切线，交OF于E，如图即为所求.

(2)∠EDP=∠DPE，或ED=EP或△PDE是等腰三角形.

(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，

∴

∠EDP=∠DPE，

∴

，

在Rt△OAP中，，

∴

，自变量x的取值范围是且.

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篇2：高考散文典型例题回放及答题模式总结

高考散文典型例题回放及答题模式总结 本文关键词：高考，例题，回放，答题，散文

高考散文典型例题回放及答题模式总结 本文简介：散文典型例题回放及答题模式总结一、概括题答题方法（概括文章主要内容或局部内容，概括主旨）（1）①审准答题方向，②明确概括范围，③充分利用原文关键语句，④根据文章层次分点作答，⑤把握概括角度（句子主语），⑥注意答案的语言形式（2）概括主旨的思路和要点：概括内容＋明确态度（情感）＋揭示观点典型例题11．

高考散文典型例题回放及答题模式总结 本文内容：

散文典型例题回放及答题模式总结

一、概括题答题方法（概括文章主要内容或局部内容，概括主旨）

（1）①审准答题方向，②明确概括范围，③充分利用原文关键语句，④根据文章层次分点作答，⑤把握概括角度（句子主语），⑥注意答案的语言形式

（2）概括主旨的思路和要点：概括内容＋明确态度（情感）＋揭示观点

典型例题

11．从文中看,“我”真正尝到拉纤的“苦味”包含了哪些内容？请简要加以概括。（6分）

①雪天纤道十分难寻；②雪地行走，双脚挨冻无比痛楚；③过险滩高度惊险，精神上受到强烈刺激。（每点2分）

《过滩谣》

13．文章第二至第四段反映了华夏先民哪些初创生活？（6分）

①寻觅种子，种植谷物。

②拓荒旷野，耕耘土地。

③品尝百草，治疗疾病。（6分，每点2分）（每条答对一小句得1分。如某条内容提取正确，但主语为神农氏，则扣1分）

《天

子

坟》

二、作用题（句子作用、段落作用、局部内容作用、景物作用、事物作用、人物作用）

（1）、建立“瞻前顾后”的思维习惯

（2）、首先明确句段相关内容在文章中的地位

（3）、相关答题要点：首先概括相应内容，

点题、渲染氛围、奠定感情基调、总领全文、引出下文、开门见山、为……作铺垫、承上启下、与……构成对比、衬托、作为线索、总结全文、卒章显志、升化主旨、呼应、丰富文意、增加文化意蕴、表明（体现）文章的某种思路等

（4）、答案要落实为相关文章的具体内容，不能搞术语展览。

典型例题

14、“我渐渐地觉得柳树不仅可爱，而且可敬”这句话在文中有什么作用?（4分）

直陈胸臆，既是全文的文眼，又是全文结构思路的总纲（总领全文）。

《柳》

11、从结构上看，文章第一段有哪些作用？（5分）

点题（1分），由交代行程引出下文对神农氏的追述（2分），与结尾“天子坟是山”形成呼应（2分）。

（点题1分；引出下文1分，写出引出的具体内容1分，答铺垫或总领全文不给分；首尾呼应1分，写出呼应的具体内容1分。）

《天

子

坟》

1、“就这样，走近了汉家寨”这句话在文中有何作用？

承上启下。承接前文对自然“空旷宁寂、四顾无援”的死寂气氛的渲染，引出对汉家寨的描写和对汉家寨人坚守精神的诠释。

《汉家寨》

13、文章结尾部分，写老牛拉磨的情景的意图是什么？

与上文喧闹的木偶戏演出，形成强烈对比（2）

运用象征手法（1），以老牛的形象，暗示古老乡村生活的单一闭塞与村民生存状态的沉重麻木，表现了乡村的沉睡不醒与经年不变（2）。

《木偶戏》

13.文章写故乡“温软的稻草”，而从第三段文字却主要写了稻子的丰姿和农人收割稻子的热闹场景，从全文看有什么作用？（4分）

①内容上，描写故乡的美丽画面，以收割情景表现乡村生活的热闹、丰富和诗意。（2分）

②结构上，为后文续写稻草的种种温软作映衬铺垫。（2分）

《温软的稻草》

三、鉴赏题

审题注意点：①首先要分清是局部欣赏还是整体把握；②其次要分清是人物还是景物还是抒发情感

答题准备：

（1）景物描写欣赏：选取典型对象（有代表性的事物）、具体的描写技巧（同诗歌鉴赏）、表现手法（对比、衬托等）、修辞方法、想象、语言特色

（2）人物描写欣赏：侧面描写、动作描写、外貌描写、语言描写、心理描写、细节描写、表现手法（对比、衬托等）、修辞方法、想象、语言特色

（3）综合运用多种表达方式、各种抒情技巧、人称等

答题要点:

概括相关内容，点明手法，结合文本落实、分析（不要忘了效果词和情感）

典型例题

船仿佛被冰冻凝住在滩涂上了。所有的纤夫都死死地把铁耙般的脚掌抠进积雪，抠进地面。尽管北风呼呼地嚎叫，他们的躯体却在咝咝地冒着热气；他们那弓成桥拱状的脊背，在嘎吧嘎吧地作响；而那一双双粗手，都颤颤抖抖地向前伸着，企图抓到一点点能够牵引自己的东西——哪怕是一条细藤、一棵小草，那也是救星呀！

12．文中画线文字运用了哪些手法？有什么表达效果？请简要分析。（5分）

（1）大量使用叠词，运用比喻、排比和对比，以及动作、细节描写的方法，

（2）描写了拉纤过险滩时惊心动魄的场面，刻画了纤夫们齐心协力、坚毅顽强的形象。

《过滩谣》

15．“一路上都是鲜红的收割机，突突突地吼个不停，所过之处，留下一地黄亮亮金灿灿的麦茬，散发着湿润的麦秸香。”这句话描写关中麦收情景，请分析它的表达特色。(4

分)

选取了麦天代表性事物，从视觉、听觉、嗅觉多角度描写；运用比拟的修辞手法，语言表达富有韵味。

《温软的稻草》

思念月亮。月亮是城里所没有的。它无声地泻落在乌黑的屋瓦、霉墙、石子路，清凉如水，池塘是别一风味，粼光如荧光，而荧光又是别一种风味。月夜的笛声是好的，难怪帕斯卡尔因吹笛而赞美了人的脆弱。还有潇潇春夜雨，满枕蛙声，客人不来不也很好吗?我思念我的小屋子，以及那棕色的小木门。傍晚，父亲常常走出大屋巷口，高高叫唤着乳名催我吃饭，见我迟不归，就会径直过来，手扶木门，静静的看我读书和写字……

《故乡》

12、文章第③段描写了故乡的风物，请分析它的表达特色。(5分)

选取故乡最具代表性的风景、人情等细节(1分，答出“代表性细节”或“典型细节”即可得1分)；运用了化静为动(如：它无声地泻落在乌黑的屋瓦……)、以动衬静(如：月夜的笛声是好的……，还有潇潇春夜雨，满枕蛙声……)、联想(如：由笛声想到斯卡尔因吹笛而赞美了人的脆弱)、融情于景(借家乡典型风物如月亮、屋瓦、霉墙等抒发对家乡的思念)、融情于事(借对父亲的回忆表达对家乡的思念)等表达方式，抒发了对故乡的思念之情。(以上都是从表现手法角度例举的，还可以从表达方式和修辞方法角度回答，这里不一一列举)(任意答出两点得4分，每一点中必须包括表达手法和分析

13．本文写“墓碑后面的字”，用了多种表现手法，请作具体说明。

①记叙描写与议论抒情相结合。（1分）②注重环境描写、动作描写和心理描写：表达对墓碑后面的字的感人思考；（2分）③议论抒情通过对比手法表达对墓碑后面的字的理性思考；（2分）；④议论抒情还通过虚实结合和托物言志表达对汉字的精神思考。（1分）

（说明：表现手法首先从表达方式切入分析，然后具体说明每种表达方式包含了哪些“手法”。全文手法分析是个薄弱环节，所以在“查漏补缺”时有必要再次强调）

《墓碑后面的字》

13．最后两小节人称有所变化，这种变化有何艺术效果？(5分)

将“松涛”称作“你”，赋予松涛人格化的特点，有利于抒发情感（2分），表达了对松涛的感激之情（1分）；将“我”称作“他”，突出“我”和听到松涛的每个人，都会进入新的境界，有新的认识和胸襟。（2分，意思对即可）。

《听松》

四、句意理解题

（1）观察句子，发现特色（2）联系语境，落实要点（3）紧扣要求，组织答案

典型例题

14．结合全文，探究“天子坟，原本就是一座山，一座不断长高的山”的几层含义。（6分）

①天子坟高大如山；②神农氏所体现的民族精神厚重如山；③这种精神在子孙后代心中传承，并不断发扬光大。（6分，每点2分）

（第一点评分标准改动如下：“天子坟高大如山”答出得1分，增加“代代农人为天子坟培土，使它越长越高”，答出得1分。其余两条不变。）

《天子坟》

五、构思和选材（构思特色分析题）

欲扬先抑、逐层深入、由实到虚、以小见大、双线结构等

典型例题

15、第⑴段作者说“寒冷离我们越来越远了”，最后一段又说“寒冷还会来的”，请探究作者这样表达的理由。(6分)

开头是说人们对生活中“寒冷”体验的机会越来越少(2分)；结尾说经历“寒冷”不仅是生活的自然规律，而遭受挫折乃至磨难等人生的“寒冷”更是生命的成长规律；人需要“寒冷”以发挥生命潜质，锻炼意志品格，使自己坚强勇敢。文章由实到虚，首尾呼应，紧扣主题，使主旨更加突出。

《寒冷的味道》

17．这篇散文回忆姥姥，姥姥应该有很多事情可写，但只选取了过端午、包粽子一件事来写，请探究作者这样选材的好处。（6分）

①使文章笔墨更为集中，能在有限的篇幅内生动细致地刻画出姥姥的可敬形象。②使文章的线索更为明晰，通过不同时期过端午、包粽子的事情，形象地展示了姥姥勤劳的一生。③使姥姥这个人物更具有鲜明的个性，姥姥的勤劳、善良、智慧、慈爱，全都融合在端午这个特殊的节日氛围里，化为清清的粽香，萦绕在儿孙的记忆里。④使作品更具有中华民族传统的人文气息。⑤明确传达出“端午”作为中国一个重要的传统节日，在普通民众心目中根深蒂固的影响。（答出其中任意三点即可。）

《姥姥的端午》

六、探究题

认真审题，明确题目实质（前面的所有题型都可能成为探究题，并没有为探究而探究的探究题），答案紧密结合文章

典型例题

七、理解标题，探究主旨

要点：概括文章内容+揭示文章主旨

典型例题

11．文章的题目为“孤独的守望”，从文中看包含哪些方面的含义？(5分)

①老人孤独地守望着被遗弃的村庄；

②村庄的一切孤独地守望着过去的生活；

③庄稼、蔬菜孤独地守望着被弃置的土地；

④作者孤独地守望着美丽的精神家园。

(5分，第①点2分，其余3点各1分)

《孤独的守望》

12．有人评价此文：“因为朴素而逼近真实，因为真实而显现生活的本质。”请结合这句话探究原文是表现了怎样的“朴素”“真实”的“生活的本质”。(6分)

文章选取稻草、草帽、锄镐等大量、具体、典型的农村生活物品，//描绘了充满着土地与阳光气息，有着劳动的喧闹、丰收的色彩、孩子们的笑声和农人平和的生活场景，//表现了乡村生活的真实、简单、朴素和农人的自然朴实。

(三层意思，意思对即可。)

《温软的稻草》

14．第7自然段说“贫困终被繁华取代，宁静总被喧哗掩盖”，结合全文探究这句话包含了作者怎样复杂的感情。（6分）

①作者肯定时代的进步和发展，希望山里人能够摆脱贫困，希望山村的发展能够融入现代文明；②对美丽山村被遗弃成为空村的荒凉景象十分痛惜；③对逃离喧嚣城市却因乡村衰落而陷入更大孤独感到迷惘。

《孤独的守望》

解题准备

一、整体把握

1、准确把握文章的关键语句。

2、分析文章结构层次。

3、把握文章主旨。

二、相关基础知识准备

（一）句段的作用（不同段落的作用）

1、如果所问的句段处于文章的前面，那一般要回答：

（1）总领全文（2）引出下文或引出话题

（3）为下文作铺垫或与下文形成对比

（4）营造气氛，奠定感情基调；

2、如果所问的句段在文章的中间，那就要回答：

（1）承上启下的过渡作用；（2）前后呼应。

3、如果问文中结尾句段的作用，那一般要回答：

（1）升华感情；（2）深化主题；（3）总结上文；（4）卒章显志，点明主题；（5）呼应开头，使文章结构首尾圆和；（6）言有尽而意无穷，使文章委婉含蓄。

4、过渡和照应

（二）人称、顺序、线索、伏笔、照应、铺垫、详略、先抑后扬、以小见大、联想想象

（三）表达技巧：描写技巧、叙议结合、象征、对比、衬托、修辞

篇3：奶制品加工计划问题-最优化方法例题

奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文关键词：奶制品，例题，最优化，加工，计划

奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文简介：奶制品的加工计划问题一、加工问题一奶制品工厂用牛奶生产A1，A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成B1，B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2kgA1和3kgA2，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15h。每千克A1可深加工成0.8kgB1，加工费为4

奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文内容：

奶制品的加工计划问题

一、

加工问题

一奶制品工厂用牛奶生产A1，A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成B1，B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2kgA1和3kgA2，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15h。每千克A1可深加工成0.8kgB1，加工费为4元，加工时间为12h；每千克A2可深加工成0.7kgB2，加工费为3元，加工时间为10h。初级奶制品A1，A2的售价分别为10元/kg和9元/kg，高级奶制品B1，B2的售价分别为30元/kg和20元/kg。工厂现有的加工能力为每周总共2000h。根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。试在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步研究如下问题：

（1）工厂拟拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高10%；各项加工费用均减少10%；初级奶制品A1，A2的产量提高10%；高级奶制品B1，B2的产量提高10%。问将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一周）应为多少？

（2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成品2kgA1和3kgA2变为每桶牛奶可加工成4kgA1或6.5kgA2。假设其他条件都不变，问是否采用这项革新，若采用，生产计划如何？

（3）根据市场经济规律，初级奶制品A1，A2的售价都要随着二者销售量的增加而减少，同时，在深加工过程中，单位成本会随着它们各自加工数量的增加而减少。在高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量20%的情况下，市场调查得到如下一批数据如下表。试根据此市场实际情况对该厂的生产计划进行修订（设其他条件不变）。

奶制品市场调查数据

二、

初步分析

本问题是将实际的奶制品生产计划作为一个优化问题来进行研究。可以利用最优化理论中的具体优化方法进行求解。

已知条件：

1、

A1，

A2，B1，B2的售价分别为10，

9，

30，

20元/公斤。

2、

牛奶的买入和加工的总费用为10+5=15元/桶

3、

A1，A2的深加工费用分别为4，

3元/公斤。

4、

每桶牛奶可加工成a1=2公斤A1和3公斤A2，每公斤A1可深加工成0.8公斤B1，每公斤A2可深加工成0.7公斤B2。

5、

每桶牛奶的加工时间为15小时，每公斤A1，A2的深加工时间分别为12，

10小时，工厂的总加工能力为t=2000小时。

6、

B1，B2的市场需求量（即生产量）占全部奶制品的比例为20%～40%。

变量设定：

1、

设A1，

A2，B1，B2一周的销售量为x1，x2，x3，x4桶；

2、

设A1，A2一周的生产量为x5，x6桶；

3、

A1，A2深加工的数量为x7，x8桶；

4、

购买的牛奶数量x9桶

三、

基本问题求解

在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大。

不考虑牛奶桶数取整，即可以购买任意数量的牛奶，建立优化模型如下。

（1）

该问题为线性规划，在Lingo中进行求解（程序代码见附件），得到全局最优解（Global

optimal

solution）：

Objective

value:

2998.374

Variable

Value

Reduced

Cost

55.28455

0.000000

204.8780

0.000000

65.04065

0.000000

68.29268

0.000000

81.30081

0.000000

5.762602

136.5854

0.000000

204.8780

0.000000

将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（1）的情况下一周的生产计划为：

购买68.3桶牛奶，A1和A2的总产量分别为136.6公斤和204.9公斤，其中55.3公斤的A1和全部的A2用于销售，余下的81.3公斤A1深加工得到65.0公斤的B1。按照该计划所得收益为2998.4元。

牛奶必须购买整数桶。

在模型（1）基础上加入x9为整数的约束条件，得到模型（2）。则该问题变成了混合型整数规划。采用分支定界算法（B-and-B），得到全局最优解：

Objective

value:

2992.667

Variable

Value

Reduced

Cost

54.33333

0.000000

204.0000

0.000000

65.33333

0.000000

68.00000

-19.50000

81.66667

0.000000

6.333333

136.0000

0.000000

204.0000

0.000000

将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（2）的情况下一周的生产计划为：

购买68桶牛奶，A1和A2的总产量分别为136公斤和204公斤，其中54.3公斤的A1和全部的A2用于销售，余下的81.7公斤A1深加工得到65.3公斤的B1。按照该计划所得收益为2992.7元。略小于模型（1）的最优值，两种生产计划差别不大。

按照模型（2）最优解安排生产时，生产时间为2000，相当于完全利用了生产能力。高级奶制品占所有奶制品的比例为0.20，达到了最低比例，即高级奶制品生产得较少时有利于提高利润。

四、

进一步研究

注：以下的各种计算均以模型（1）为基础。

技术革新资金应投入项目

总加工能力提高10%，即t=2200小时。求解得到最大利润为3298.2元。

各项加工费用均减少10%，即每桶牛奶加工费变为4.5元，A1、A2深加工费变为3.6元和2.7元。最大利润为3065.0元。

初级奶制品A1，A2的产量提高10%，即一桶牛奶可以生产2.2斤A1和3.3斤A2。最大利润为3242.5元。

高级奶制品B1，B2的产量提高10%，即一斤A1可生产0.88斤B1，一斤A2可生产0.77斤B2。最大利润为3233.8元。

通过比较四种不同技术革新方案的最大利润可知，将资金用于提高总加工能力可以得到最大的收益。比较起未改革之前的收益增加了3298.2-2998.4=299.8，约等于300元，按照投资不出现亏损的要求，这笔资金的上限（对于一周）应为300元。

加工技术革新

将原来的每桶牛奶可加工成品2kgA1和3kgA2变为每桶牛奶可加工成4kgA1或6.5kgA2。即将模型（1）中的约束条件换为，得到模型（3），问题仍然为线性规划。在Lingo中计算得到经过加工技术革新后的最大利润为3256.2。比未经过技术革新的模型（2）所得利润增加了3256.2-2998.4=257.8元。相应的生产计划为：购买64.2桶牛奶，其中21.6桶加工成86.5公斤的A1，42.6桶加工成276.6公斤的A2，全部A1加工成69.2公斤的B1，全部的A2用于销售，即最后销售的奶制品只有A2和B1两种。高级奶制品占所有奶制品的销售比例是0.2，达到了最低比例。总生产时间是2000小时，充分利用了生产能力。

市场调查的结果显示了A1、A2两种奶制品的价格与两者的联合销售量（x1、x2）有关，而两者的深加工费用分别与各自的深加工量有关。

设A1、A2的价格p1、p2为A1、A2联合销量的函数，即p1=p1(x1,x2)，p2=p2(x1,x2)；考虑到方法的效率和实用性，采用线性函数的形式对价格函数进行拟合。

设售价函数的形式如下：

p1(x1,x2)=a1+b1x1+c1x2

p3(x1,x2)=a2+b2x1+c2x2

A1、A2的深加工费d1、d2分别为各自深加工量的函数，即d1=c1(x7)，d2=c2(x8)。考虑到误差和实用性，采用二次函数进行拟合。

设深加工费函数的形式如下：

d1=a3+b3x7+c3x7^2

d2=a4+b4x8+c4x8^2

采用最小二乘法对以上四个函数进行拟合，得到各个系数如下：

a1=24.7299，b1=-0.0937，c1=-0.0356，R2=0.9933;

a2=29.9575，b2=-0.0563，c2=-0.0839，R2=0.9873;

a3=8.5879，b3=-0.1084，c3=0.000553，R2=0.9849;

a4=7.3272，b4=-0.0822，c4=0.000368，R2=0.9626。

拟合的平方相关系数均在0.96以上，拟合效果比较好，可以认为基本反映了真实销售价格和深加工费用的变化。

已知高级奶制品占市场需求20%，将变化后的销售价和深加工费带入到模型（1）中，并更改相应的约束，得到新的优化模型如下：

模型（4）

在Lingo中求解得到最优解为：

Objective

value:

3405.405

Variable

Value

Reduced

Cost

47.35384

0.000000

175.4878

0.000000

55.71040

0.000000

58.49592

0.000000

69.63800

0.000000

10.05662

116.9918

0.000000

175.4878

0.000000

最大利润为3405.4元。比较模型（1）的利润多了3405.4-2998.4=408.0元。此时的生产时间为1713.1小时，没有达到生产能力的限制。在这种情况下，购买了更少的牛奶，花费了更少的生产时间，却获取了更大的利润，分析发现，此时的A1价格高于模型（1）中的价格，而A2的深加工费用却低于模型（1）的费用，综合作用使得总收益增大。