数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

发布时间:2021-10-27 16:28:01

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文关键词：方法，数列，例题，公式，讲解

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文简介：数列的通项公式1.通项公式如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。2.数列的递推公式（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.

数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文内容：

数列的通项公式

1.通项公式

如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。

2.数列的递推公式

（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。

（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可

3.数列的前n项和与数列通项公式的关系

数列的前n项之和，叫做数列的前n项和，用表示，即

与通项的关系是

4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)

1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项

2）前n项和与的关系法，

求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

3）、累（叠）加法：形如∴

4）.

累（叠）乘法：形如

∴

5）.待定系数法

：形如a=p

a+q（p≠1，pq≠0），（设a+k=p（a+k）构造新的等比数列）

倒数法

：形如（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）

7).

对数变换法

：形如，（然后用待定系数法或是等差数列）

8).除幂构造法:

形如

(然后用待定系数法或是等差数列)

9).

归纳—猜想—证明”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

通项公式方法及典型例题

1.前n项和与的关系法

例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。

（1）(1)Sn＝2n2－3n；

（2）

解：

(1)a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

（1），

当时===3

经验证也满足上式

∴=3

（2），当时，

由于不适合于此等式

。

∴

(点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)

2.累加法:

型

2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；

解:由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，

累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝，

即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，

所以an＝2n－1(n∈N*)．

3.累乘法

型，

已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.

解：∵

∴.

∴

a1=*1=

∴

4.待定系数法:

a=p

a+q（p≠1，pq≠0）型，

通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得

pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。

4.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.

由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，

令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．

所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，

所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．

5.倒数变换法、形如的分式关系的递推公式，分子只有一项

（两边取倒，再分离常数化成求解）然后用待定系数法或是等差数列

例5.

已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由

得

是以首项为，公差为的等差数列

考点六、构造法

.形如

然后用待定系数法或是等差数列

6、已知数列满足求an．

解：将两边同除，得，变形为．

设，则．所以，

数列为首项，为公差的等比数列．

．因，所以=

得=．

求数列的通项公式

一、数列通项公式的求法

1、观察法

观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式

例、由数列的前几项写通项公式

（1）1，3，5，7，9…

（2）9，99，999，9999，

（3）

2、定义法：

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目．

例（1）已知是一个等差数列，且。求的通项.；

（2）已知数列{}为等比数列，求数列{}的通项公式；

（3）已知等比数列，若，求数列的通项公式。

（4）数列中，，求的通项公式

（5）已知数列满足，，求的通项公式

（6）已知数列中,,且当时,则

;

3、公式法：

已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：

注意：要先分n=1和n≥2

两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例（1）已知数列的前n项和，求的通项公式。

（2）已知数列中,,则

（3）已知数列前n项和，求的通项公式

累加法：

利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.

例.（1）数列中，，求的通项公式

（2）在数列中，

，

求数列的通项公式？

5、

累乘法:

利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:

的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).

例（1）已知数列的首项，且，求数列的通项公式

（2）已知数列的首项，求数列的通项

6、

凑配法（也叫构造新数列）:

将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫凑配法（构造新数列.）

例（1）数列中，，求的通项公式

（2）已知数列中,,,求的通项公式

7、

倒数变换：将递推数列,取倒数变成

的形式的方法叫倒数变换.

例（1）在数列中,,,求数列的通项公式？

求前n项和的方法

(1)公式法

①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；

②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法．

③常见数列的前n项和：

a．1＋2＋3＋…＋n＝________________；

b．2＋4＋6＋…＋2n＝_________________；

c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d．

e．

(2)分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．

常见的裂项公式有：

①_x0001_

＝－；

②＝；

③＝－.

(4)错位相减：

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．这种方法主要用于求数列的前n项和，其中和分别是

和

；

(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．

考点二、分组求和法：

2.求数列的前n项和。

考点三、.裂项相消法：

求数列的前n项和.

解：设

（裂项）

则

（裂项求和）

＝＝

考点四、错位相减法：

求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

…………………………②

（设制错位,乘以公比）

①_x0001_

②得

（错位相减）

∴

考点五、倒序相加法：

求的值

解：设………….

①

将①式右边反序得

…………②（反序）

又因为

①+②得

（反序相加）

＝89

∴

S＝44.5

数列求和练习

1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．

(1)求通项an及Sn；

(2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及前n项和Tn.

3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为(

)

130

260

156

168

在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N+，其中a，b为常数，则ab＝________.

二、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·

bn}的前n项和，其中{

}、{

}分别是等差数列和等比数列.

2．设数列的前n项和为，为等比数列，且

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

例2．已知数列的首项，，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）数列的前项和．

2．设数列的前n项和为，为等比数列，且

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

三、分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和

3：求数列的前n项和。

四、裂项相消法求和

[例1]

在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

练习1、设数列的前n项的和为，点均在函数的图像上

（1）求数列的通项公式；

（2）设是数列的前n项的和，求

3、数列的通项公式为，则它的前10项的和=

4、

5．已知数列是等差数列，其前项和为

（I）求数列的通项公式；

（II）求和：.

等差

等比

应用

例1.在等差数列中，，则

练习1.设{}为等差数列，公差d

-2，为其前n项和.若，则=（

）

A.18

B.20

C.22

D.24

2.已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

3.等差数列的前n项和为，且

=6，=4，

则公差d＝________

等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝_______

数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

6.正项等比数列=

。

7.等比数列的前项和为,已知,,则

(A)

(B)

(C)

(D)

8.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于（

）

A．9

B．3C．

-3

D．-9

设等差数列的前项和为,则

(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

10.已知数列为等差数列，且，，那么则等于（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

11.知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则

(

)

A．10

B．16

C．20

D．24

12.在等比数列中，首项，，则公比为

13.

若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.

．等比数列中,公比,记

(即表示数列的前

项之积),取最大值时n的值为（

）

A．8B．9C．9或10D．11

数列大题训练

1、已知等差数列满足：，，的前n项和为．

（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．

2．函数对任意都有

(1)求和的值

(2)数列满足：数列是等差数列吗？请给予证明．

3．已知数列满足是首项为1、公比为的等比数列．

(1)求的表达式；

(2)如果

求数列的前n项和．

4、数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列各项为正，前项和为，，又成等比数列，求.

5、已知数列是等差数列，且，是数列的前项和．

(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和；

(Ⅱ)

若数列满足，且是数列的前项和，求与．

6．

设是正数组成的数列，其前n项和为

并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)令

求证：

7、已知数列是等差数列，

；数列的前n项和是，且．

(Ⅰ)

求数列的通项公式；

(Ⅱ)

求证：数列是等比数列；

(Ⅲ)

记，求的前n项和

8.已知数列的前项和满足，其中．

（I）求数列的通项公式；

（II）设，求数列的前项和为．

9.已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

10、已知数列满足

（1）求的通项公式；（2）证明：.

11.已知数列的前项和是，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求适合方程

的正整数的值．

数列大题训练(

答案

)

1、【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有

，解得，所以；==。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，

所以==，即数列的前n项和=

2．(1)因为

故

令得

即

(2)

：而

两式相加得

所以

又故数列是等差数列．

3．(1)

当时，

故

即

(2)因

故

…①

…②

①一②得

故

又故

4、解：（Ⅰ）由可得，

两式相减得：，

又∴

故是首项为1，公比为3的等比数列

∴

（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得

故可设，又，

由题意可得，解得

∵等差数列的各项为正，∴

∴

5、(Ⅰ)设数列的公差为，由题意可知：,解得:

…3分

∴

…………………………………5分

6．(1)由题意可知：整理得

所以故

整理得：由题意知

而

故

即数列为等差数列，其中

故

(2)令

则

故

7、解：(Ⅰ)设的公差为，则：，，

∵，，∴，∴．

………………………2分

∴．

…………………………………………4分

（Ⅱ）当时，，由，得．

…………………5分

当时，，，∴，即…7分

∴．

∴是以为首项，为公比的等比数列．

…………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知：．

∴．

∴

．……13分

∴．

8.解:（I）∵，

①

当，∴，当，∵，

②

①-②：，即：

………………………………4分

又∵，

，∴对都成立，所以是等比数列，∴

（II）∵，∴，

∴，

∴，即

.……………………………12分

9.（1）由已知得，∴．

当时，．

，∴，．

（2）由⑴可得．

当为偶数时，，

当为奇数时，为偶数

，综上，

10.（1）解

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴，∴。

（2）证明：∵

∴，

∵n是正整数，∴，，

∴。

11.解：（1）

当时，，由，得

当时，∵

，

∴，即

∴

…5分

∴是以为首项，为公比的等比数列．故

（2）

，

（3）

解，得

篇2：几种求极限方法及总结

几种求极限方法及总结 本文关键词：几种，极限，方法

几种求极限方法及总结 本文简介：几种求极限方法的总结摘要极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词定义夹逼定理单调有界无穷小洛必达泰勒公式数列求和定积分定积分数列1用定义求极限根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.例1用定

几种求极限方法及总结 本文内容：

几种求极限方法的总结

摘

要

极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.

关键词

定义

夹逼定理

单调有界

无穷小

洛必达

泰勒公式

数列求和定积分

定积分

数列

用定义求极限

根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.

例1

用定义证明

证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是

N=，，有即

2利用两边夹定理求极限

例2

求极限

解：设

则有：

同时有：

，于是

由.

有

已知：

∴=1

3利用函数的单调有界性求极限

实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.

例3

设，，（n=1,2,）(),求

解：显然是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见

，

从而

，显然是单调增加的，所以

两段除以，得

这就证明了的有界性

设，对等式两边去极限，则有

解得

4利用无穷小的性质求极限

关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x是无穷小，函数g(x)在U（有界，则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.

例

求极限

解4

而

而故

应用“两个重要极限”求极限

例5求

解

∴原式=

6利用洛必达法则求极限

例6求（

解：

例7

求极限

（

解

7利用泰勒公式求极限

例8：求极限

解

∵中分子为，∴将各函数展开到含项。

当时，从而=1-

∴原式=

8利用数列求和来求极限

有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。

例9：求极限

解：令，则

从而

，∴

原式=

9用定积分求和式的极限

例10

设函数f(x)在上连续，且f(x),求

解

令T=

于是lnT==

而

所以

利用定积分求极限

利用定积分求极限可分为以下两种形式

（1）型.

定理1

设f(x)在上可积，则有：

例12

求

解：设f(x)=x,f(x)在上可积。则

（2）型.

定理2

设f(x)在上可积，则有=epx

例13

求

解：=

令

f(x)=x,则有==exp=

11利用数列的递推公式求极限

这种方法实际上包含有两种方法

（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.

例14

设=1，，3（，求

解：递推公式可化为3（

设，那么

所以，=1，

将以上各式相加得

（1）

如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+，利用无穷小和极限的关系，只需证明（，便可确定数列的极限确实存在且就为A.

例15

证明数列

2，2+，2+，极限存在并求出这个极限.

解：由题意知递推关系为，若数列的极限存在并设为A，则A=2+

设

，有递推关系得1+，即

因为

而

但2=1+，所以

即

由此推出数列的极限存在并且就为1+

利用级数收敛的必要条件求极限

当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.

收敛的必要条件：若级数收敛，则

例16

计算

解：作级数，令

有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条件=0

参考文献

陈传璋

金福临

朱学炎

数学分析（第二版）高等教育出版社

.1983.7

解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6

第19卷第2期

杨曼英

《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报

1994.第2期

唐守宪

《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报

2003.1第22卷第1期

篇3：范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法

范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法 本文关键词：圆锥曲线，解题，方法，范本

范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法 本文简介：高中数学圆锥曲线解答题解法面面观汇编：范本桥圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题问题八：直线问题问题九：对

范本桥总结圆锥曲线的解题全面方法 本文内容：

高中数学圆锥曲线解答题解法面面观

汇编：范本桥

圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

题型二：弦的垂直平分线问题

题型三：动弦过定点的问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

题型五：向量问题

题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值、最值问题

问题八：直线问题

问题九：对称问题

问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N

：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得

①

由直线和抛物线交于两点，得

即

②

由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：

令y=0,得，则

为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足②式此时。

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．

题型三：动弦过定点的问题

例题2、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为

（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

，直线MN的方程为：，

令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：

又，椭圆的焦点为，即

故当时，MN过椭圆的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A、B、C是椭圆E：

上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。

解：(I)

，且BC过椭圆的中心O

又点C的坐标为。

A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：

将点C代入方程，得，椭圆E的方程为

(II)

直线PC与直线QC关于直线对称，

设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：

，即，由消y，整理得：

是方程的一个根，

即同理可得：

＝＝

＝

则直线PQ的斜率为定值。

题型五：共线向量问题

1：如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.

解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|

又∴动点N的轨迹是以点

C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为

焦距2c=2.

∴曲线E的方程为

（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为

得设

，

又当直线GH斜率不存在，方程为

2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C

的标准方程；（2）过椭圆C

的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，

，求证：.

解：设椭圆C的方程为

（＞＞）抛物线方程化为，其焦点为，

则椭圆C的一个顶点为，即

由，∴，椭圆C的方程为

（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为

，代入方程

并整理，得∴，

又，，，，

而

，

，即，

∴，，所以

3、已知△OFQ的面积S=2,且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，

，当取得最小值时，求此双曲线方程。

解：设双曲线方程为，

Q（x0,y0）。

，

S△OFQ=，∴。

=c(x0－c)=。

当且仅当，

所以。

类型1——求待定字母的值

例1设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值

思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。

解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)

∵PA=

∴x1=.

联立消去y并整理得，(1－a2)x2+2a2x－2a2=0(*)

∵A、B是不同的两点，∴

∴00）过M（2，）

，N(,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB

|的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E:

（a,b>0）过M（2，）

，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

因为,所以,,①当时

因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.

②

当时,.

③

当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB

|的取值范围为即:

2、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．

整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．

（Ⅱ）设，则，由方程①，．

②

又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．

3、设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：易知，设P（x，y），

则，

，

，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为

由方程组

依题意

当时，设交点C，CD的中点为R，则

又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，

所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

4、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中即椭圆方程可为，H（x,y）为椭圆上一点，则

，，则有最大值，（舍去），，∴所求椭圆方程为

（2）设，则由

两式相减得……③

又直线PQ⊥直线m

∴直线PQ方程为将点Q（）代入上式得，④

由③④得Q（），Q点必在椭圆内部，

由此得故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称

5、已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为

（I）求，的值；

（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）设

当的斜率为1时，其方程为到的距离为

，故

，

由

，得

，=

（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由

（Ⅰ）知椭圆C的方程为+=6.

设

(ⅰ)

假设上存在点P，且有成立，则，

，整理得

故

①

将

②

于是,=,，

代入①解得，，此时

于是=，

即

因此，

当时，，

；

当时，，

。

（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为.

6、已知直线经过椭圆

的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

故椭圆的方程为

（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而

由得0

设则得，从而

即

又，由得

故

又

，当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，

此时的方程为

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线，则由解得或

7、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知，，设，．

解法一：（I）设，则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

（II）假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

8、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

(1)求圆的方程；

(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

(1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

即=4

①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得

，m2+n2=8

②

联立方程①和②组成方程组解得，

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为

其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。

通过联立两圆的方程解得x=，y=

即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。

9、设椭圆E:

（a，b>0）过M（2，）

，N(，1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB

|的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E:

（a，b>0）过M（2，）

，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，，，

所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.