数字信号处理习题与答案

发布时间:2021-10-27 14:33:05

数字信号处理习题与答案 本文关键词：习题，答案，数字信号处理

数字信号处理习题与答案 本文简介：3.已知，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件求输入为时的输出序列,并画图表示。解：系统的等效信号流图为：解：根据奈奎斯特定理可知：6.有一信号,它与另两个信号和的关系是:其中，已知，解：根据题目所给条件可得：而所以8.若

数字信号处理习题与答案 本文内容：

.已知

，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为

的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件

求输入为时的输出序列,并画图表示。

解：系统的等效信号流图为：

解：根据奈奎斯特定理可知：

有一信号,它与另两个信号和的

关系是:

其中

，

已知

，

解：根据题目所给条件可得：

而

所以

若是因果稳定序列，求证：

证明:

∴

9．求的傅里叶变换。

解：根据傅里叶变换的概念可得：

13.

研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系

统，已知它满足

并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。

解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：

，

为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

即可求得

16.

下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

时，求系统单位冲激响应,画出系统零极点图和频率响应曲线。

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

则有

因为此系统是一个因果稳定系统

;

所以其收敛

17．设是一离散时间信号，其z变换为，对下列信

号利用求它们的z变换：

(a)

，这里△记作一次差分算子，定义为：

(b)

{

(c)

解：

(a)

(b)

，

(c)

由此可设

1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

计算求得:

解：在一个周期内的计算

用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

解：

∵

∴

，

2.用级联型结构实现以下系统函数

试问一共能构成几种级联型网络。

解：

∴

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

给出以下系统函数的并联型实现。

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：

，

4．用横截型结构实现以下系统函数：

解：

5．已知FIR滤波器的单位冲击响应为

试画出其级联型结构实现。

根据得：

而FIR级联型结构的模型公式为：

对照上式可得此题的参数为：

6．用频率抽样结构实现以下系统函数：

抽样点数N

6，修正半径。

解；

因为N=6，所以根据公式可得：

7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

试画出此滤波器的线性相位结构。

解：由题中所给条件可知：

8．设滤波器差分方程为：

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方程。

⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。

⑶设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。

解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

；

一阶节级联型：

一阶节并联型：

幅度为：

相位为：

又抽样频率为10kHz，即抽样周期为

∴在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为

根据公式可得此稳态输出为：

解:

⑴

直接计算:

复乘所需时间:

复加所需时间:

⑵用FFT计算:

复乘所需时间:

复加所需时间:

篇2：数字信号处理期末复习题20XX-20XX

数字信号处理期末复习题2015-2016 本文关键词：复习题，期末，数字信号处理

数字信号处理期末复习题2015-2016 本文简介：一.填空题1)一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y（n）；输入为x（n-3）时，输出为y（n-3）。2)从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率fs关系为：f大于等于2fs。3)若正弦序列x(n)=sin(30n

数字信号处理期末复习题2015-2016 本文内容：

一.

填空题

一线性时不变系统，输入为

x（n）时，输出为y（n）

；则输入为2x（n）时，输出为

2y（n）

；输入为x（n-3）时，输出为

y（n-3）

。

从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率fs关系为：

f大于等于2fs

。

若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N=

。

序列x(n-2)可以通过x(n)__右____移两位得到

根据采样定理，若采样频率小于信号的2倍最高频率，则采样后信号的频率会产生______混叠________。

若已知x(n)的z变换为X(Z)，

x(n-m)的z变换为

-mX(Z)______。

二．选择填空题

从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率fs关系为：

。

f≥

2fs

f≤2fs

f≥

f≤fs

序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是

，5点圆周卷积的长度是

。

5,5

6,5

6,6

7,5

无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是__B____型的

非反馈

反馈

不确定

若正弦序列x(n)=sin(60nπ/120)是周期的,则周期是N=

。

2π

4π

一线性时不变系统，输入为

x（n）时，输出为y（n）

；则输入为2x（n）时，输出为

；输入为x（n-3）时，输出为

。

2y（n），y（n-3）

2y（n），y（n+3）

y（n），y（n-3）

y（n），y（n+3）

在N=32的时间抽取法FFT运算流图中，从x(n)到X(k)需

级蝶形运算

过程。

设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（

）

A．当n>0时，h(n)=0

B．当n>0时，h(n)≠0

C．当n<0时，h(n)=0

D．当n<0时，h(n)≠0

若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为(

)。

A.R3(n)

B.R2(n)

C.R3(n)+R3(n-1)

D.R2(n)+R2(n-1)

.下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?(

)

A.h(n)=δ(n)

B.h(n)=u(n)

C.h(n)=u(n)-u(n-1)

D.h(n)=u(n)-u(n+1)

10.一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括(

)。

A.单位圆

B.原点

C.实轴

D.虚轴

11.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜<1，则该序列为(

)。

A.有限长序列

B.右边序列

C.左边序列

D.双边序列

三，判断题

1．

在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。（

对

）

2、x(n)=cos（w0n)所代表的序列一定是周期的。（

错

）

3、y(n)=x2(n)+3所代表的系统是线性系统。

（

错

）

4、一个线性时不变离散系统是因果系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在圆内。（

错

）

5、y(n)=cos[x(n)]所代表的系统是线性系统。（

错

）

6、x(n),y(n)的线性卷积的长度与x(n),y(n)的长度无关。（

错

）

7、在N=8的时间抽取法FFT运算流图中，从x(n)到x(k)需3级蝶形运算过程。（

对

）

8、一个线性时不变的离散系统，它是因果系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在单位圆内。（

错

）

9、一个线性时不变的离散系统，它是稳定系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在单位圆内。（

对

）

10.因果稳定系统的系统函数的极点可能在单位圆外。(

错

)

1,给定信号：

（1）画出序列的波形，标上各序列的值；

（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；

（3）令，试画出波形；

（4）令，试画出波形；

（5）令，试画出波形。

解：

（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）

（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2。

（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2。

（5）画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，在乘以2。

设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）；

（2），为整常数；

（3）；

（4）。

解：

（1）令：输入为，输出为

故该系统是时不变系统。

故该系统是线性系统。

（2）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

令输入为，输出为，因为

故延时器是一个时不变系统。又因为

故延时器是线性系统。

（3）

令：输入为，输出为，因为

故系统是时不变系统。又因为

因此系统是非线性系统。

（4）

令：输入为，输出为，因为

故该系统是时变系统。又因为

故系统是线性系统。

给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）；

（2）；

（3）。

解：

（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。

（2）如果，，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。

设系统由下面差分方程描述：

；

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解：

令：

归纳起来，结果为

5设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

解：

（1）

令，则

（2）

（3）

令，则

（4）

证明：

令k=n-m，则

试求如下序列的傅里叶变换:

（2）；

（3）

解：

（2）

（3）

设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：

（1）求出系统输出序列；

（2）分别求出、和的傅里叶变换。

解：

（1）

（2）

求以下序列的Z变换及收敛域：

（1）；

（2）；

（3）

解：

（1）

（2）

（3）

已知，分别求：

（1）的Z变换；

（2）的Z变换；

（3）的z变换。

解：

（1）

（2）

（3）

10.

用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：

（1）最小记录时间；

（2）最大取样间隔；

（3）最少采样点数；

（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。

解：

（1）已知

（2）

（3）

（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）

11.

设系统用下面的差分方程描述：

，

试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

解：

将上式进行Z变换

（1）按照系统函数，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。

（2）将的分母进行因式分解

按照上式可以有两种级联型结构：

(a)

画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示

(b)

画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示

（3）将进行部分分式展开

根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。

12.

设数字滤波器的差分方程为

，

试画出该滤波器的直接型、级联型结构。

解：

将差分方程进行Z变换，得到

（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。

（2）将的分子和分母进行因式分解：

按照上式可以有两种级联型结构：

(a)

画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。

(b)

画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。

13.

设系统的系统函数为

，

试画出各种可能的级联型结构。

解：

由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

（1）

，

画出级联型结构如题3解图（a）所示●。

（2）,画出级联型结构如题3解图（b）所示。

篇3：数字信号处理期末试卷含答案

数字信号处理期末试卷含答案 本文关键词：含答案，数字信号处理，期末试卷

数字信号处理期末试卷含答案 本文简介：一、填空题（每题2分，共10题）1、1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是信号，再进行幅度量化后就是信号。2、2、，用求出对应的序列为。３、序列的N点DFT是的Z变换在的N点等间隔采样。４、，只有当循环卷积长度L时，二者的循环卷积等于线性卷积。５、用来计算N＝16点DFT，直接计算

数字信号处理期末试卷含答案 本文内容：

一、

填空题（每题2分，共10题）

1、

对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是

信号，再进行幅度量化后就是

信号。

2、

，用求出对应的序列为

。

３、序列的N点DFT是的Z变换在

的N点等间隔采样。

４、，只有当循环卷积长度L

时，二者的循环卷积等于线性卷积。

５、用来计算N＝16点DFT，直接计算需要_________

次复乘法，采用基2FFT算法，需要________

次复乘法，运算效率为__

。

６、FFT利用

来减少运算量。

７、数字信号处理的三种基本运算是：

。

８、FIR滤波器的单位取样响应是圆周偶对称的，N=6，

，其幅度特性有什么特性？

，相位有何特性？

。

９、数字滤波网络系统函数为，该网络中共有

条反馈支路。

１０、用脉冲响应不变法将转换为，若只有单极点，则系统稳定的条件是

（取）。

二、

选择题（每题3分，共6题）

1、

，该序列是

。

A.非周期序列B.周期C.周期D.

周期

2、

序列，则的收敛域为

。

A.B.C.D.

3、

对和分别作20点DFT，得和，，，

n在

范围内时，是和的线性卷积。

A.B.C.D.

4、

，，用DFT计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT的长度N满足

。

A.B.C.D.

５、已知某线性相位FIR滤波器的零点Zi,则下面那些点仍是该滤波器的零点

。

ZI*

６、在IIR数字滤波器的设计中，用

方法只适合于片断常数特性滤波器的设计。

A.脉冲响应不变法B.双线性变换法C.窗函数法D.频率采样法

三、

分析问答题（每题5分，共2题）

1、

已知，，是和的线性卷积，讨论关于的各种可能的情况。

2、

加有限窗截断序列引起的截断效应对谱分析的影响主要表现在哪些方面，如何减弱？

四、

画图题（每题8分，共2题）

１、已知有限序列的长度为8，试画出基2

时域FFT的蝶形图，输出为顺序。

２、已知滤波器单位取样响应为,求其直接型结构流图。

五、

计算证明题（每题9分，共4题）

1、

对实信号进行谱分析，要求谱分辨率，信号最高频率。

①

试确定最小记录时间，最少采样点数和最大采样间隔；

②

要求谱分辨率增加一倍，确定这时的和。

２、设,是长为N的有限长序列。证明

（1）

如果

（2）当N为偶数时，如果

３、FIR

滤波器的频域响应为，设，N为滤波器的长度，则对FIR

滤波器的单位冲击响应h（n）有何要求，并证明你的结论。

４、已知模拟滤波器传输函数为，设，

用双线性变换法将转换为数字滤波器系统函数。

数字信号处理期末试卷2

四、

填空题（每题2分，共10题）

3、

若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是

。

4、

已知，的反变换

。

３、，变换区间，则

。

４、，，是和的8点循环卷积，则

。

５、用来计算N＝16点DFT直接计算需要_

次复加法，采用基2FFT算法，需要

次复乘法

６、基2DIF-FFT

算法的特点是

７、有限脉冲响应系统的基本网络结构有

８、线性相位FIR滤波器的零点分布特点是

９、IIR系统的系统函数为，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，

其中

的运算速度最高。

１０、用双线性变换法设计理想低通数字滤波器，已知理想低通模拟滤波器的截止频率，并设，则数字滤波器的截止频率

（保留四位小数）。

五、

选择题（每题3分，共6题）

5、

以下序列中

的周期为5。

A.B.C.D.

6、

FIR系统的系统函数的特点是

。

A.只有极点，没有零点B.只有零点，没有极点C.没有零、极点D.既有零点，也有极点

7、

有限长序列，则

。

A.B.C.D.

8、

对和分别作20点DFT，得和，，，

n在

范围内时，是和的线性卷积。

A.B.C.D.

５、线性相位FIR滤波器有

种类型

６、利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，为了使系统的因果稳定性不变，在将转换为时应使s平面的左半平面映射到z平面的

。

A.单位圆内B.单位圆外C.单位圆上D.单位圆与实轴的交点

六、

分析问答题（每题5分，共2题）

3、

某线性时不变因果稳定系统单位取样响应为（长度为N），则该系统的频率特性、复频域特性、离散频率特性分别怎样表示，三者之间是什么关系？

4、

用对连续信号进行谱分析时，主要关心哪两个问题以及怎样解决二者的矛盾？

七、

画图题（每题8分，共2题）

1、

已知系统，画出幅频特性（的范围是）。

2、

已知系统，用直接Ⅱ型结构实现。

八、

计算证明题（每题9分，共4题）

2、

对实信号进行谱分析，要求谱分辨率，信号最高频率。

①

试确定最小记录时间，最少采样点数和最低采样频率；

②

在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的Ｎ值。

3、

设是长度为2N的有限长实序列，为的2N点DFT。试设计用一次N点FFT完成的高效算法。

３、FIR数字滤波器的单位脉冲响应为

（1）

写出频率采样型结构中复数乘法器系数的计算公式，采样点数为N＝5。

（2）

该滤波器是否具有线性相位特性？为什么？

４、已知模拟滤波器传输函数为，设，

用脉冲响应不变法（令）将转换为数字滤波器系统函数。

《数字信号处理》考试试题

考试时间：120分钟

考试日期：*年*月*日

班级：

序号：

姓名：

成绩：

一、（8分）

求序列

(a)

的共扼对称、共扼反对称部分；

(b)

周期共扼对称、周期共扼反对称部分。

二、（8分）系统的输入输出关系为

判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。

三、（8分）求下列Z变换的反变换

，

四、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为

求另一个时，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。

五、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：，。

（a）

求其他零点的位置

（b）

求滤波器的传输函数

六、（8分）已知（）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为，

（1）

用表示序列的DFT变换。

（2）

如果（），求其N点DFT。

七、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数

八（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器

九、（10分）低通滤波器的技术指标为：，，，请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

十、（20分）用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为：

，

，,十一、（7分）信号包含一个原始信号和两个回波信号：

求一个能从恢复的可实现的滤波器．

附录：

表1

一些常用的窗函数

矩形窗(rectangular

window)

汉宁窗(Hann

window)

汉明窗(Hamming

window)

布莱克曼窗(Blackman

window)

表2

一些常用窗函数的特性

Window

Main

Lobe

width

DML

Relative

sidelobe

level

Asl

Minimum

stopband

attenuation

Transition

bandwidth

Rectangular

4p/(2M+1)

13.3dB

20.9dB

0.92p/M

Hann

8p/(2M+1)

31.5dB

43.9dB

3.11p/M

Hamming

8p/(2M+1)

42.7dB

54.5dB

3.32p/M

Blackman

12p/(2M+1)

58.1dB

75.3dB

5.56p/M

Wc=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式：

表3

阶数1￡

N￡

5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数

1.0000

1.4142

1.0000

2.0000

1.0000

2.6131

3.4142

2.6131

1.0000

3.2361

5.2361

3.2361

1.0000

《数字信号处理》考试答案

总分：100分

1、（8分）求序列

(a)

的共扼对称、共扼反对称部分。

(b)

周期共扼对称、周期共扼反对称部分。

解：(a)

(b)

2、（8分）系统的输入输出关系为

判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。

解：非线性、因果、不稳定、时移变化。

3、（8分）求下列Z变换的反变换

，

解：

4、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为

求另一个时，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。

解：

5、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：，。

（c）

（a）

求其他零点的位置

（d）

（b）

求滤波器的传输函数

解：（a），，，，，，，

（b）

6．（8分）已知（）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为

（1）用表示序列的DFT变换。

（2）如果（），求其N点DFT。

解：(1)

(2)

7、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数

解：

8、（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器

（10分）低通滤波器的技术指标为：，，，

请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.001)=-60dB，因此只能采用布莱克曼窗。

，

10．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为：

，

，,解：

。

我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。

我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为，通带截止频率为，且A=1/0.1=10,=

0.4843

先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2,且

有：

用变换将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有

所以模拟滤波器的选择因子(transition

ratio

electivity

parameter)为

判别因子(discrimination

parameter)为：

因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：

我们取N=3,则

我们可取

，

如取，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为：

用低通到高通的转换关系将低通滤波器转换为高通滤波器：

最后采用双线性变换

11.（7分）信号包含一个原始信号和两个回波信号：

求一个能从恢复的稳定的滤波器．

解：因为X(z)

与Y(z)的关系如下：

以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：

注意到：，且

F(z)的极点在：

它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内处，所以G(z)是可实现的。

《数字信号处理》

1．

(8分)

确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分：

(a)

(b)

(8分)

下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。

(6分)

确定下列序列的平均功率和能量

4．(6分)已知x[n]（）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]

（1）

用X[k]表示序列的DFT变换

（2）

如果（），求其N点DFT。

5．.

(8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数

Z-1

X(z)

-k1

Y(z)

-k2

6．(10分)以以下形式实现传输函数为

的FIR系统结构。

(1)

直接形式

(2)

一个一阶系统，两个二阶系统的级联。

(10分)低通滤波器的技术指标为：

用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且

。

9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号：

y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]

求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．

(14分))一个线性移不变系统的系统函数为，

这里

(a)

求实现这个系统的差分方程

(b)

证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）

(c)

H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应

g(n)。

附录：

表1

一些常用的窗函数

矩形窗(rectangular

window)

汉宁窗(Hann

window)

汉明窗(Hamming

window)

布莱克曼窗(Blackman

window)

表2

一些常用窗函数的特性

Window

Main

Lobe

width

DML

Relative

sidelobe

level

Asl

Minimum

stopband

attenuation

Transition

bandwidth

Rectangular

4p/(2M+1)

13.3dB

20.9dB

0.92p/M

Hann

8p/(2M+1)

31.5dB

43.9dB

3.11p/M

Hamming

8p/(2M+1)

42.7dB

54.5dB

3.32p/M

Blackman

12p/(2M+1)

58.1dB

75.3dB

5.56p/M

Wc=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式：

表3

阶数1￡

N￡

5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数

1.0000

1.4142

1.0000

2.0000

1.0000

2.6131

3.4142

2.6131

1.0000

3.2361

5.2361

3.2361

1.0000

《数字信号处理》考试答案

总分：100分

2．

1．

(8分)

确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分：

(a)

(b)

解：(a)

(b)

(8分)

下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。

解：

(a)

令：对应输入x1[n]的输出为y1[n]，对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n]，则有

所以此系统为线性系统。

(b)

设对应x[n]的输出为y[n]，对应输入x1[n]＝x[n-n0]的输出为y1[n],则

此系统为移位变化系统。

)假设，则有

所以此系统为BIBO稳定系统。

(d)此系统为非因果系统。

(6分)

确定下列序列的平均功率和能量

能量为：

功率为：

4．(6分)已知x[n]（）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]

（3）

（1）

用X[k]表示序列的DFT变换

（4）

（2）

如果（），求其N点DFT。

解：(1)

(2)

5．.

(8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数

Z-1

X(z)

-k1

Y(z)

-k2

V[z]

解：

则

又

则有

6．(10分)以以下形式实现传输函数为

的FIR系统结构。

(2)

(1)

直接形式

(2)

一个一阶系统，两个二阶系统的级联。

x[n]

z-1

解：(1)

4.9

1.2005

-0.16807

y[n]

-3.43

-3.5

(2)

0.49

-1.4

y[n]

z-1

-0.7

x[n]

z-1

0.49

-1.4

z-1

(10分)低通滤波器的技术指标为：

用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.01)=-40dB，我们可以采用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带衰减增大的同时，过渡带的宽度也会增加，技术指标要求过渡带的宽度为。由于

MDw=

3.11p,所以：，

且：

一个理想低通滤波器的截止频率为，所以滤波器为：

，

8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且

。

解：

我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为，通带截止频率为，且A=1/0.1=10,=

0.4843

先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2,且

有：

用变换将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有

所以模拟滤波器的选择因子(transition

ratio

electivity

parameter)为

判别因子(discrimination

parameter)为：

因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：

我们取N=3,则

我们可取

，

如取，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为：

用低通到高通的转换关系将低通滤波器转换为高通滤波器：

最后采用双线性变换

9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号：

y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]

求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．

解：因为X(z)

与Y(z)的关系如下：

以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：

注意到：，且

F(z)的极点在：

它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内处，所以G(z)是可实现的。

(14分))一个线性移不变系统的系统函数为，

这里

(a)

求实现这个系统的差分方程

(b)

证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）

(c)

H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应

g(n)。

解：(a)

对方程的两边进行反z变换：

(b)频率响应为：

所以幅值的平方为：

所以系统为一个全通滤波器

此系统在处有一极点，在处有一零点。因为，极点在单位圆外。所以，如果

g[n]是稳定的，收敛域一定为。因而g[n]是左边序列。