北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习 本文关键词：西城区，角形，直角，北京市，讲义
北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习 本文简介：北京市西城区重点示范中学2016年3月九年级数学中考复习《相似》、《解直角三角形》复习建议及练习一、2016年北京考试说明（一）图形的性质1.相似三角形：A.了解相似三角形的性质定理与判定定理；B.能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。2.锐角三角函数及解直角三角形A.理解锐角三角函
北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习 本文内容：
北京市西城区重点示范中学2016年3月九年级数学中考复习
《相似》、《解直角三角形》复习建议及练习
一、2016年北京考试说明
（一）图形的性质
1.
相似三角形：
A.
了解相似三角形的性质定理与判定定理；
B.
能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。
2.
锐角三角函数及解直角三角形
A.
理解锐角三角函数
(sinA，cosA．tanA)的概念；知道30°、45°、60°角的三角函数值，理解（2015年是“了解”）解直角三角形的概念；
B.
能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决一些（2015年是“某些”）简单的实际问题；
C．运用直角三角形的有关内容解决有关问题。
（二）图形的变化
3.
图形的相似：
A.
了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；
B.
掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（2015年新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
（三）图形与坐标
4.
坐标与图形运动：
A.
在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似；
B.
在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；
C.
运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。
二、复习建议
1．按照考试说明的要求进行全面复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过、不随意拔高难度；
2．B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；
3．注重方程思想在相似、解直角三角形中的使用；
4．教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题；
5.
逆向思维是寻求几何证明思路的有效途径之一；
6.
去模式化，重知识，重思想；
7.
重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。
8.
课时安排：
相似
约2课时
解直角三角形
约2课时
三、具体内容
相似三角形的性质与判定
落实一：
能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题
落实二：
掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
落实三：
会利用图形的相似解决一些简单的实际问题
落实四：
能利用位似变换将一个图形放大或缩小，并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化
例1.
如图，在平行四边形中，点在上，连接并
延长与的延长线交于点，若，则的值是________.
C
A
B
D
E
F
例2.
如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE>CE），
连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.
例3.
如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为
米．
例4.
如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：
①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；
②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1∶2，且点A2在第三象限．
（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；
（2）请直接写出点A2的坐标：__________．
例5.
（ZFX
/
P70例4）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12,点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.
（1）设DE=m(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示
的值；
（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长.
例6.
含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（0o90o），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥交边于点E，连接BE.
求证：∠CBE=30°.
练习：
1.
如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=
2.
如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为
3.
某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自
然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC 4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ． 5. （ZFX / P69例2）已知：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD与点P，Q. （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）； （2）求BP:PQ:QR的值. 6.（ZFX / P69例3）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点（不与B、C重合）. 连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B (1) 你认为图中哪两个三角形相似，为什么？ (2) 当点P在底边BC上自点B向C移动过程中，是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由. 7. 在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF． （1）求证：△DEC∽△FDC； （2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上） （1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，AD的长为 ； ②当AC=3，BC=4时，AD的长为 ； （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？ 请说明理由． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2． （3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：= （不写解答过程，直接写出结果）． 相似的综合应用 1. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图像过点． （1） 求反比例函数的表达式； （2）@co过点的直线与反比例函数图像的另一个交点为，与轴交于点，若，求点的坐标． 2. 在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）． 图1 图2 （1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接,OP、OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、 PB，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E． ①在图1中画出图形； ②在△OCP与△PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由． 3. 如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒. （1）当t=秒时，则OP= ，S△ABP= ； （2）当△ABP是直角三角形时，求t的值； （3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E。试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3． 备用图 图2 图1 4. 已知：如图，为⊙O的直径，为AB上一点，过作弦，在上取一点，分别作直线，交直线于点，分别连结OE，CO，CM. (1)若G为OA的中点. ①∠COA= ° ，∠FDM= °； ②. (2)如图，若为半径上任意一点(不与点O、B重合)，过作弦，点在上，仍作直线，分别交直线于点，分别连结OE，CO，CM. ①依题意补全图形； ②此时仍有FD·OM=DM·CO成立.请写出证明FD·OM=DM·CO的思路.（不写出证明过程） 5．已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE. （1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系； （2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转（≤≤）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由； 图2 备用图 图1 解直角三角形 落实一：锐角三角函数的定义 例1：（1）. 在Rt△ABC中，，，那么的值为________. （2）在Rt△中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为________. （3）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA 、tanA的值. （4）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点.若BC=8，， 则AB的长为( ). A． B． C． D．12 （5）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值. （6）（ZFX P74例(5)）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点， 其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是， 则sinα的值为_________. 落实二：特殊角的三角函数值 例2：（1）. 如果是锐角，且sinA=，那么__________゜ （2） 计算： 1. 2. 2sin260°·tan45°+cos30°·tan30° 3. 4. 5. 落实三：解直角三角形，能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形 例3：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=， 求AB的长. 例4：如图，在四边形ABCD中，∠C=120o，∠B=75o， CD=4，BC=，cosA=. 求AD的长. 例5：如图，在四边形中，对角线交于点， ．求的长和四边形的面积． 例6：（ZFX / P75例5）在⊿ABC中，∠A=30°，BC=3，AB=，求∠BCA的度数和AC的长。 练习： 1. 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D， OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ） A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长D．2CD的长 2. 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等， 若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上， 则sinα的值是（ ） A．B．C．D． A C B D E 3. 把两块含有300的相同的直角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一条直线上，连结CD，若AC=6cm，则ΔBCD的面积是 __ 。 4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是 ． 5．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF= ． 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6， AD=CD， sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值． 7.（ZFX / P75例3）如图，在△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，E为AB上一点，且AE：EB=4:1，EF⊥AC于点F，连接FB.求tan∠CFB的值. 8.（ZFX / P75例4） （1）如图，在△ABC中， ∠ACB=105°，∠A=30°，AC=8， 求AB和BC的长？ （2）在△ABC中， ∠ABC=135°，∠A=30°，AC=8， 求AB和BC的长？ （3）在△ABC中，AC=17，AB=26，锐角A满足sinA=，求BC的长及△ABC的面积？若AC=3，其他条件不变呢？ 解直角三角形的实际应用 落实一：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 落实二：会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 落实三：能综合运用直角三角形的性质解决有关的问题 例1：如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路. 例2：如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14米处是观景台，即BD＝14米，该观景台的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，观景台的高CF为2米，在坡顶C处测得电线杆顶端A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，如果以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，人行道是否在危险区域内？() 例3：在一次数学实践活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：） 例4：如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）． 练习： 1、两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部 （1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） （2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离． 2、如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速 航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国 某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半 小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问： 渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离 最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．） 3、如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具： ①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、 俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选 用的测量工具； （2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路． 4、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行 观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC． （1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度； （2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）． 5、如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45） 第13页 共12页 篇2：北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习 北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文关键词：西城区，北京市，讲义，变换，中考 北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文简介：北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期初三数学中考复习《图形变换》复习建议平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换.通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化,分散条件集中化.从图形变换的角度思考问题,可以整体把握图形的性质,解决问题的思路更加简明、清晰.当图形运动 北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文内容： 北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期初三数学中考复习 《图形变换》复习建议 平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换. 通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化,分散条件集中化. 从图形变换的角度思考问题,可以整体把握图形的性质,解决问题的思路更加简明、清晰. 当图形运动变化的时候,从运动变换的角度分析图形,更容易发现不变量和特殊图形. 一、2016年《考试说明》的要求 考试内容 考试要求 A B C 图形的变化 图形的平移 了解平移的概念; 理解平移的基本性质. 能画出简单平面图形平移后的图形; 能利用平移的性质解决有关简单问题. 运用平移的有关内容解决有关问题 图形的轴对称 了解轴对称的概念; 理解轴对称的基本性质; 了解轴对称图形的概念. 能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形; 探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质; 能利用轴对称的性质解决有关简单问题. 运用轴对称的有关内容解决有关问题 图形的旋转 认识平面图形关于旋转中心的旋转; 理解旋转的基本性质; 了解中心对称、中心对称图形的概念; 理解中心对称的基本性质. 能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形; 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质; 能利用旋转的性质解决有关简单问题. 运用旋转的有关内容解决有关问题 二、图形变换在近年中考中的呈现方式 显性: 题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征. 隐性: 解决问题时需利用图形变换的观点分析和思考,并能适当添加辅助线构造所需图形. 三、对图形变换的认识过程 1. 掌握图形变换的概念和性质; 2. 对已学图形和常用辅助线的再认识: (1) 从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性. (2) 从图形变换的角度分析添加辅助线后构造出的图形性质. 3. 掌握基本辅助线: (1) 中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线 (2) 等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短; (3) 平行四边形、梯形——平移; (4) 正多边形、共端点的等线段——旋转; 4. 利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形. 5. 用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题,用变换的观点研究函数的平移和对称. 四、复习建议 1. 基本概念明晰 平移、轴对称、旋转都是全等变换,只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同,故变换前后具有各自的性质. (1) 平移、轴对称、旋转 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换,即变换前后的图形全等. 不 同 点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换,叫~. 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~. 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~. 图形 要素 平移方向 平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、 旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等. 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分. 对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即: 对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等. (2) 旋转与中心对称 中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°),满足旋转的性质,由旋转的性质可以得到 中心对称性质. 旋转 中心对称 图 形 性质 1 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 对称点所连线段都经过对称中心. 2 对应点到旋转中心的距离相等. 对称点所连线段被对称中心所平分. 3 旋转前、后的图形全等. 关于中心对称的两个图形是全等图形 2. 三种变换之间的一些联系. ①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移. ②以两垂直直线为对称轴,连续做轴对称变换可实现中心对称变换. ③以两相交直线为对称轴,连续做轴对称变换可实现旋转变换. 例: 已知△ABC,直线PQ、PR,作△ABC关于PQ的对称图形△A B C,再作△A B C 关于PR的对称图形△A B C,则△ABC与△A B C 的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A B C . 由此可知,将一个图形关于两条相交直线轴对称两次,则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形. 3. (1) 常见的平移有: 平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等. (2) 涉及到“对称”均可考虑对称变换. 如沿等腰三角形的底边上的高翻折,沿角的平分线翻折等. (3) 常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60o,绕正方形的一个顶点旋转90o、 绕等腰三角形的顶点旋转,旋转角等于等腰三角形的顶角等. 五、专题复习 A B C O y x 平移变换 1. (2011湖北黄冈) 如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中 ∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0) 、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段 BC扫过的面积为( C ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 8 2. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E 为AB中点,EF //DC交BC于点F,求EF的长． 3. (2007北京) 如图,已知△ABC. (1) 请你在BC边上分别取两点D,E(BC的中点除外),连结AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形; C B D E A A B C (2) 请你根据使(1) 成立的相应条件,证明AB+AC > AD+AE. 4. 如图,在Rt△ABC中,AD=BC,CD=BE. 求∠BOE的度数? 45° B O A D C E 轴对称变换 ●轴对称计算． 5. (2014怀柔二模) 如图(a),有一张矩形纸片ABCD,其中AD=6cm,以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上,如图(b),则半圆被覆盖部分(阴影部分) 的面积为________. (a) C B F E A A D D 6. (2012江苏南京) 如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在A 、D 处,且A D 经过B,EF为折痕,当D FCD时,的 值为( A ) A. B. C. D. 7. (1) 如图,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落在点处,若OA =,,则点A 的坐标是多少? (,) (2) 如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A 的位置,若OB =,,则点A 的坐标是多少? ●最短路径问题． 基本图形已经归纳总结在总复习书中 8.(2010天津)在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、 y轴的正半轴上,,,D为边OB的中点. A B C O D D E y x x y C B D O A (Ⅰ) 若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标; (1,0) (Ⅱ) 若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标. (,0),(,0) 9. 如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为. (1) 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点,则=_____; (2) 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则的取值范围是 . ≤ p 2) 与x轴的另一交点为A,过点P(1,) 作直线PN⊥x轴于点N,交抛物线于点B. 点B关于抛物线对称轴的 对称点为C. 连结CB,CP. (1) 当b = 4时,求点A的坐标及BC的长; (2) 连结CA,求b的适当的值,使得CA⊥CP; (3) 当b = 6时,如图2,将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转,得到△CB P,CP与抛物线 对称轴的交点为E,点M为线段B P (包含端点) 上任意一点,请直接写出线段EM长度 的取值范围. 图2 图1 第12页 共 12页 篇3：北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文关键词：西城区，复习，北京市，讲义，月初 北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文简介：北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习一、2016年中考说明考试内容考试要求ABC图形与几何图形的性质圆的有关概念理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念能利用圆的有关概念解决有关简单问题圆的有关性质了解弧、弦、圆心角的关系，理解圆周角与圆心角及 北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文内容： 北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习 《圆》复习建议讲义及练习 一、2016年中考说明 考试内容 考试要求 A B C 图形与几何 图 形 的 性 质 圆的有关概念 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念 能利用圆的有关概念解决有关简单问题 圆的有关性质 了解弧、弦、圆心角的关系，理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系 能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推论解决有关简单问题 运用圆的性质的有关内容解决有关问题 点和圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 尺规作图（利用基本作图完成）：过不在同一直线上的三点作圆；能利用点和圆的位置关系解决有关简单问题 直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径之间的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线 掌握切线的概念；能利用切线的判定和性质解决有关简单问题；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题；能利用切线长定理解决有关简单问题 运用圆的切线的有关内容解决有关问题 多边形和圆 了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；了解三角形外心的概念；知道三角形的内切圆；了解三角形的内心；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 能利用圆内接四边形的对角互补解决有关简单问题；能利用正多边形解决有关简单问题；尺规作图（利用基本作图完成）：作三角形外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形 弧长、扇形面积和圆锥 会计算圆的弧长和扇形面积； 会求圆锥的侧面积和全面积 能利用圆的弧长和扇形的面积解决一些简单的实际问题 二、复习建议 1．依据考试说明的要求进行复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过，不随意拔高难度；B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用； 2．培养学生的识图能力，从复杂的几何图形中拆分出常见的基本图形; 3．通过习题培养学生分析问题解决问题的能力。去模式化，重视能力的培养，重视数学思想方法的渗透； 4. 重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导. 三、课时安排 建议安排4-5课时左右 四、具体内容 基本概念复习 一、弧、弦、圆周角、圆心角 1．圆的定义： （1）描述性定义：在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中,固定的端点O叫做______,线段OA叫做______，以O为圆心的圆，记作“_____”,读作“_____”. （2）集合性定义: 平面上到_________的距离等于定长r的_________是以O为______、以r为________的圆. （3）性质：同圆或________中,________________ 2．与圆有关的概念： （1）弦：连接圆上任意两点的__________叫做弦；__________的弦叫做直径. （2）弧：圆上_________________叫做圆弧，简称“弧”，用符号____表示，以A、B为端点的弧记作 __________,读作“__________ 弧的分类： 半圆：圆的任意一条________的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆. 优弧：______半圆的弧叫做优弧劣弧；_________半圆的弧叫做劣弧 （3）等圆：能够__________的两个圆叫做等圆. 即：半径相等的圆是等圆；同圆或等圆的半径相等. （4）等弧：在_________________中，能够__________的弧叫做等弧． （5）同心圆：__________相同，__________不相等的圆叫做同心圆. 3．垂径定理_______________________________________________ 垂径定理的推论 “平分弦（_____________）的直径_____于弦，并且_________________ 4．弦、弦心距、弧、圆心角之间的关系 在____、____、_______中，一组量相等，可推出其余各组也相等。 5．圆周角 （1）概念：顶点在_______，两边都与圆_________的角叫做圆周角 （2）_______________，同弧或_______所对的圆周角都等于_____________________。 （3）_______________，同弧或_______所对的圆周角都__________。 （4）直径所对的圆周角是________ （5）圆内接四边形的性质①_________________;②外角等于__________________ 二、直线与圆的位置关系（切线的判定定理、性质定理、切线长定理） 1．设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则 （1）直线L和⊙O相交________，如图（a）所示； （2）直线L和⊙O相切________，如图（b）所示； （3）直线L和⊙O相离________，如图（c）所示． 2．切线的判定定理：经过________________且________________的直线是圆的切线. 3．切线的性质定理：圆的切线________________________________. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的________________，它们的____________相等，这一点和圆心的连线________________________. 5．内切圆：________________________的圆叫做三角形的内切圆. 内心：内切圆的圆心是________________________交点，叫做三角形的内心. 常用基本图形： 三、点与圆的位置关系 1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d， 点P在圆外__________；点P在圆上__________；点P在圆内__________ 2．经过三角形的__________可以做一个圆,并且_______画一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形_________________的交点，叫做这个三角形的_______． 三角形的外心就是三角形_________________的交点，它到________________的距离相等. 四、正多边形和圆 1、多边形的中心：一个正多边形的_________的圆心． 2、正多边形的半径：_________的半径． 3、正多边形的中心角：正多边形_________的圆心角． 4、正多边形的边心距：中心到_________的距离． 常用基本图形： 五、弧长与扇形面积、圆锥的侧面展开图 1.圆周长：C＝_________ 2.弧长： 3.扇形面积：＝。 4.圆锥的侧面积 5.圆锥的全面积 弧、弦、圆心角、圆周角 例1． （1）.如图，AB为圆O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，连结OC， 若 OC=5，CD=8，则AE= . （2）. 如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°， OC=4，CD的长为（ ） A. 2 B.4 C. 4 D.8 （3）.如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 60° D. 80° （4）.如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是_______________. （5）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） （6）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a 的值是（ ） A. 4 B. C. D. 例2.（西城总复习 P82例1）如图，在⊙O中，弦AB的中点为C， 过点C的半径为OD. （1）若AB=，OC=1，求CD的长； （2）若半径OD=R，∠AOB=120°，求CD的长. 例3.（西城总复习 P82例2）已知：如图，⊙O中，半径OA=4， 弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC=60°，求弦BC的长. 例4.如图，在坐标平面内，以点M（0，）为圆心，以2为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E点. （1）求出CP所在直线的解析式； （2）连接AC，求△ACP的面积. 例5．已知：P为等边△ABC外接圆弧BC上一点， 求证：PA=PB+PC. 练习： 1. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD=130°， BC∥OD交⊙O于C，则∠A= ． C H O F G E A B 2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ． 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C. （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 直线和圆的位置关系 例1.已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm． （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ （2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ 例2.（西城总复习 P82例3）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长. 例3.（西城总复习 P83例4）已知：如图，AB是⊙O的直径， ∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于 点N，交BC延长线于E，直线CF交EN于F，且∠ECF=∠E. （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长. 例4.（西城总复习 P84例5）如图，AB是⊙O的弦，D为半径 OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F， O 且CE=CB. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF，BF，求∠ABF的度数. 例5.（西城总复习P84例6）已知：如图，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连结AC. ∠CPA的平分线PM交AC于点M. （1）若∠CAP=30°，求CP的长及∠CMP的度数； （2）若点P在AB的延长线上运动， 你认为∠CMP 的大小会是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化， 请求出∠CMP的值； （3）若点P在直径BA延长线上运动，PC切⊙O于点C， 那么∠CMP的大小会是否发生变化？请直接写出你的结论. 练习 1. (11北京)如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 2. (12北京)已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结． （1）求证：与相切； （2）连结并延长交于点，若 ，求的长． 3. (13北京)如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。[中国教育出&版*^#@网] 4.（14北京）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线 BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于 点F，AF交⊙O于点H，连接BH． （1）求证：AC=CD； （2）若OB=2，求BH的长． 5.（15北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM， 弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交 BM于点E． (1）求证：△ACD是等边三角形； (2）连接OE，若DE=2，求OE的长． 6.（15西城一模）如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE． （1）依题意补全图形； （2）在不添加新的线段的条件下，写出图中 与∠BED相等的角，并加以证明． 7.（15西城二模）如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG． （1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且时，求PG的长． 点和圆的位置关系 例1．已知：点P到⊙O最近的距离为3，最远的距离为11，则⊙O的半径为 . 例2．（西城总复习 P85例9）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有_____ 个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由． 练习：（西城总复习P89，21，北京2013） 对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得 ∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点 D（，），E（0，-2），F（，0） （1）当⊙O的半径为1时， ①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________； ②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围； （2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围. 圆中计算及作图 例1：完成下列作图 （1）过不共线的三点确定一个圆 （2）过圆上一点作已知圆的切线 （3）过圆外一点作已知圆的切线 （4）已知直线a及直线外一点P，求作：⊙P与直线a相切. (5)画△ABC的内切圆，并标出它的内心 (6)画出△DEF的外接圆，并标出它的外心； （7）作⊙O的内接正方形，内接正六边形 (8)等分圆周（三、六、十二、四、八等分） 例2．（1） 正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______． （2）已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度为____________，该圆弧所对扇形面积为____________. （3）半径为2的扇形，面积为，则它圆心角的度数为_________，所对弧长为__________. （4）扇形圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为______________. （5）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，经过40分钟，分针针端转过的弧长为___________. 例3．（西城总复习 P85例7）如图，平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，在OA与地面垂直并且扇形没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求点O移动的距离. 例4．（西城总复习P85例8） （1） 如图1，扇形OAB的圆心角为90度，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（ ） A. P=Q B.P>Q C.PS4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3 9. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2） 若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积． 10. 如图，中，，． （1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点 （保留作图痕迹，不写作法）： （2）综合应用：在你所作的圆中， ①求证：；②求点到的距离． 11.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E在AB上，AE=2. 分别以E，B为圆心，以2为半径画圆弧交DC于F，G，交AB于A，H. （1）求四边形BEFG的面积； （2）求由弧FA和弧GH两段圆弧及线段AH，FG所围成的阴影部分面积.
